Mostre que f(x) = x^2 − x senx− cosx tem exatamente duas ráızes reais e localize-as em intervalos de amplitude máxima π/2.

Para mostrar que a função f(x) = x^2 - xsen(x) - cos(x) tem exatamente duas raízes reais, podemos utilizar o Teorema de Bolzano, que afirma que se uma função contínua f(x) muda de sinal em um intervalo [a, b], então existe pelo menos uma raiz da equação f(x) = 0 no intervalo (a, b). Primeiro, vamos analisar o comportamento da função em relação ao seu sinal. Podemos observar que f(0) = -1 e f(π/2) = π/4 - 1,5 < 0. Além disso, f(x) é uma função contínua em todo o seu domínio, portanto, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz da equação f(x) = 0 no intervalo (0, π/2). Agora, vamos analisar o comportamento da função no intervalo (-π/2, 0). Podemos observar que f(-π/2) = π/4 + 1,5 > 0 e f(0) = -1 < 0. Além disso, f(x) é uma função contínua em todo o seu domínio, portanto, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz da equação f(x) = 0 no intervalo (-π/2, 0). Portanto, a função f(x) = x^2 - xsen(x) - cos(x) tem exatamente duas raízes reais, uma no intervalo (0, π/2) e outra no intervalo (-π/2, 0). Para localizá-las com amplitude máxima de π/2, podemos utilizar o método da bissecção ou outro método numérico para encontrar as raízes com precisão.