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Conhecendo como uma solução da equação diferencial , para , use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução linearmente indepen...

Conhecendo como uma solução da equação diferencial , para , use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução linearmente independente .


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P2 - Calculo 3 - Rosa
5 pág.

Cálculo III Colégio ObjetivoColégio Objetivo

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Para encontrar uma segunda solução linearmente independente usando o método de redução de ordem, podemos assumir que a segunda solução é da forma: y2(x) = v(x) y1(x) onde y1(x) é a solução conhecida e v(x) é uma função a ser determinada. Substituindo y2(x) na equação diferencial, temos: v''(x) y1(x) + 2v'(x) y1'(x) + v(x) y1''(x) + p(x) v'(x) y1(x) + q(x) v(x) y1(x) = 0 Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por y1(x): v''(x) + 2v'(x) (y1'(x) / y1(x)) + v(x) (y1''(x) / y1(x)) + p(x) v'(x) + q(x) v(x) = 0 Agora, podemos usar a condição de que y1(x) é uma solução para obter: y1''(x) + p(x) y1'(x) + q(x) y1(x) = 0 y1'(x) / y1(x) = -p(x) / 2 Substituindo essas expressões na equação diferencial simplificada, temos: v''(x) - (p(x)^2 / 4) v(x) = 0 Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, que pode ser resolvida usando a equação característica: r^2 - (p(x)^2 / 4) = 0 As raízes dessa equação são: r1 = p(x) / 2 r2 = -p(x) / 2 Portanto, a solução geral da equação diferencial simplificada é: v(x) = c1 e^(p(x)/2) + c2 e^(-p(x)/2) Assim, a segunda solução linearmente independente é: y2(x) = v(x) y1(x) = (c1 e^(p(x)/2) + c2 e^(-p(x)/2)) y1(x) onde c1 e c2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais ou pelos limites do problema.

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