Determine se as integrais abaixo são divergentes ou convergentes e calcule o valor daquelas que forem convergentes: (a) ∫ ∞ 2π sen x dx ; (b) ∫ e ...

(a) A integral ∫∞2πsen(x)dx é convergente. Para calcular seu valor, podemos utilizar a integração por partes. Fazendo u = sen(x) e dv = dx, temos du = cos(x)dx e v = x. Assim, temos: ∫∞2πsen(x)dx = [-cos(x)x]∞2π - ∫∞2π-cos(x)dx = [cos(2π)2π - cos(2)2] - [cos(2) - cos(2π)] = 2 Portanto, a integral é convergente e seu valor é 2. (b) A integral ∫e^(1/(x^3*sqrt(ln(x))))dx é convergente. Para calcular seu valor, não há uma fórmula fechada, mas podemos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão. Fazendo x = 1/tan²(u), temos dx = -2tan(u)/sin³(u)du e ln(x) = ln(sin(u)²). Substituindo na integral, temos: ∫e^(1/(x^3*sqrt(ln(x))))dx = ∫e^(-cos(u)/sin(u)) * 2tan(u)/sin³(u)du Essa integral pode ser resolvida numericamente, por meio de métodos como a quadratura gaussiana.