Considere a função y = f(x) = 2x − 1 / x − 1. Determine: (a) o domı́nio de f ; (b) os interceptos; (c) as simetrias de f ; (d) as asśıntotas; (e...

(a) O domínio de f é o conjunto de todos os valores de x que tornam a função definida. Nesse caso, a função não é definida quando o denominador é igual a zero, ou seja, x - 1 = 0. Portanto, o domínio de f é o conjunto de todos os números reais exceto x = 1. (b) Para encontrar os interceptos, basta igualar a função a zero e resolver para x. Temos: 2x - 1 / x - 1 = 0 2x - 1 = 0 2x = 1 x = 1/2 Portanto, o único intercepto é (1/2, 0). (c) A função não é simétrica em relação ao eixo y, pois f(-x) ≠ -f(x). Também não é simétrica em relação à origem, pois f(-x) ≠ f(x). (d) Para encontrar as assíntotas, precisamos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de infinito ou menos infinito. Temos: lim x → ∞ f(x) = lim x → ∞ (2x - 1) / (x - 1) = 2 lim x → -∞ f(x) = lim x → -∞ (2x - 1) / (x - 1) = -2 Portanto, a reta y = 2 é uma assíntota horizontal e a reta y = -2 é outra assíntota horizontal. (e) Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os valores de x onde a função muda de direção. Temos: f'(x) = (2(x-1) - (2x-1)(1)) / (x-1)² = -1 / (x-1)² A função é crescente nos intervalos (-∞, 1) e (1, ∞) e decrescente no intervalo (0, 1). (f) Para encontrar os valores máximos e mínimos locais, precisamos encontrar os pontos críticos da função e analisar o sinal da segunda derivada. Temos: f''(x) = 2 / (x-1)³ A função não possui valores máximos ou mínimos locais. (g) Para discutir a concavidade e encontrar os pontos de inflexão, precisamos analisar o sinal da segunda derivada. Temos: f''(x) = 2 / (x-1)³ A função é côncava para cima nos intervalos (-∞, 1) e (1, ∞) e côncava para baixo no intervalo (0, 1). O ponto de inflexão é (1, 1). (h) Para esboçar o gráfico de f, podemos usar as informações obtidas nos itens anteriores. O gráfico deve se aproximar das assíntotas horizontais y = 2 e y = -2 quando x se aproxima de infinito ou menos infinito, respectivamente. A função possui um intercepto em (1/2, 0) e um ponto de inflexão em (1, 1). Além disso, a função é crescente nos intervalos (-∞, 1) e (1, ∞) e decrescente no intervalo (0, 1).