Calcule a derivada da função abaixo. Justifique sua resposta. h(x) = ∫ senx 0 ln(1 + t4) dt. Calcular a derivada da função dada Justificar a respo...

Para calcular a derivada da função h(x), é necessário utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo. Primeiro, vamos encontrar a primitiva da função dentro da integral: ∫ senx ln(1 + t^4) dt Fazendo a substituição u = 1 + t^4, temos: du/dt = 4t^3 dt = du/4t^3 Substituindo na integral, temos: ∫ senx ln(1 + t^4) dt = (1/4) ∫ senx ln(u) du Agora, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada de h(x): h'(x) = d/dx [(1/4) ∫ senx ln(u) du] h'(x) = (1/4) [senx ln(1 + x^4) - ∫ cosx ln(1 + x^4) dx] Para justificar essa resposta, é necessário mostrar que a primitiva da função dentro da integral é cosx ln(1 + x^4). Isso pode ser feito por partes, utilizando a integração por substituição para a função ln(1 + x^4) e a integração por partes para a função cosx. O resultado será: ∫ cosx ln(1 + x^4) dx = (1/4) [cosx ln(1 + x^4) + (1/2) ∫ senx^2 / (1 + x^4) dx] A integral restante pode ser resolvida utilizando a substituição u = x^2: ∫ senx^2 / (1 + x^4) dx = (1/2) ∫ du / (1 + u^2) ∫ senx^2 / (1 + x^4) dx = (1/2) arctan(x^2) Substituindo na expressão para h'(x), temos: h'(x) = (1/4) [senx ln(1 + x^4) - cosx ln(1 + x^4) - (1/4) arctan(x^2)] Portanto, a derivada da função h(x) é h'(x) = (1/4) [senx ln(1 + x^4) - cosx ln(1 + x^4) - (1/4) arctan(x^2)].