Calcule as seguintes integrais. Justifique suas respostas. (a) ∫ cos4 x tg3 x dx, (b) ∫ x2sen (2x) dx, (c) ∫ 2x2 + 4x− 1 (x− 1)(x2 + 4) dx. (a) (b)...

(a) Para calcular a integral ∫cos⁴(x)tg³(x)dx, podemos fazer a substituição trigonométrica u = tg(x), então du = cos²(x)dx e cos²(x) = 1/(1+tg²(x)). Substituindo na integral, temos: ∫cos⁴(x)tg³(x)dx = ∫cos²(x)cos²(x)tg³(x)dx = ∫(1 - tg²(x))cos²(x)tg³(x)dx = ∫(tg³(x) - tg⁵(x))cos²(x)dx Fazendo a substituição u = sen(x), temos du = cos(x)dx e cos²(x) = 1 - sen²(x). Substituindo na integral, temos: ∫(tg³(x) - tg⁵(x))cos²(x)dx = ∫(tg³(x) - tg⁵(x))(1 - sen²(x))du = ∫(tg³(x) - tg⁵(x))du - ∫(tg³(x) - tg⁵(x))sen²(x)du A primeira integral é fácil de calcular, pois é apenas uma potência de tg(x). Para a segunda integral, podemos usar a identidade trigonométrica sen²(x) = (1 - cos(2x))/2, então: ∫(tg³(x) - tg⁵(x))sen²(x)du = ∫(tg³(x) - tg⁵(x))(1 - cos(2x))/2 du = (1/2)∫(tg³(x) - tg⁵(x))du - (1/2)∫(tg³(x) - tg⁵(x))cos(2x)du A primeira integral é fácil de calcular, pois é apenas uma potência de tg(x). Para a segunda integral, podemos fazer a substituição v = sen(2x), então dv = 2cos(2x)dx e cos(2x) = √(1 - sen²(2x)). Substituindo na integral, temos: (1/2)∫(tg³(x) - tg⁵(x))cos(2x)du = (1/2)∫(tg³(x) - tg⁵(x))√(1 - sen²(2x))2cos(2x)dx = - (1/4)∫(tg³(x) - tg⁵(x))√(1 - v²)dv = - (1/4)∫(v² - 1)√(1 - v²)dv = (1/4)∫(1 - v²)√(1 - v²)dv - (1/4)∫v²√(1 - v²)dv A primeira integral é fácil de calcular, pois é uma integral de uma função ímpar. Para a segunda integral, podemos fazer a substituição u = 1 - v², então du = -2vdv e v² = 1 - u. Substituindo na integral, temos: (1/4)∫v²√(1 - v²)dv = - (1/8)∫√u du = - (1/12)u^(3/2) = - (1/12)(1 - v²)^(3/2) Substituindo todas as integrais calculadas na expressão original, temos: ∫cos⁴(x)tg³(x)dx = (1/4)tg⁴(x) - (1/12)(1 - sen²(2x))^(3/2) + (1/4)√(1 - sen²(2x)) - (1/12)sen²(2x)√(1 - sen²(2x)) + C (b) Para calcular a integral ∫x²sen(2x)dx, podemos fazer a integração por partes, escolhendo u = x² e dv = sen(2x)dx. Então, du = 2xdx e v = - (1/2)cos(2x). Substituindo na fórmula de integração por partes, temos: ∫x²sen(2x)dx = - (1/2)x²cos(2x) + ∫cos(2x)2xdx = - (1/2)x²cos(2x) + 2∫xcos(2x)dx Fazendo a integração por partes novamente, escolhendo u = x e dv = cos(2x)dx, temos du = dx e v = (1/2)sen(2x). Substituindo na fórmula de integração por partes, temos: ∫x²sen(2x)dx = - (1/2)x²cos(2x) + 2(x(1/2)sen(2x) - ∫(1/2)sen(2x)dx) = - (1/2)x²cos(2x) + x(1/2)sen(2x) + (1/4)cos(2x) + C (c) Para calcular a integral ∫(2x² + 4x - 1)/(x - 1)(x² + 4)dx, podemos fazer a decomposição em frações parciais. Primeiro, escrevemos a expressão como: (2x² + 4x - 1)/(x - 1)(x² + 4) = A/(x - 1) + Bx/(x² + 4) Multiplicando ambos os lados por (x - 1)(x² + 4), temos: 2x² + 4x - 1 = A(x² + 4) + Bx(x - 1) Substituindo x = 1, temos: 2(1)² + 4(1) - 1 = A(1² + 4) + B(1 - 1) 5 = 5A A = 1 Substituindo x = 0, temos: 2(0)² + 4(0) - 1 = A(0² + 4) + B(0 - 1) -1 = -4A - B B = 3 Substituindo os valores de A e B na expressão de frações parciais, temos: (2x² + 4x - 1)/(x - 1)(x² + 4) = 1/(x - 1) + 3x/(x² + 4) Fazendo a integração de cada termo separadamente, temos: ∫(2x² + 4x - 1)/(x - 1)(x² + 4)dx = ∫1/(x - 1)dx + 3∫x/(x² + 4)dx = ln|x - 1| + (3/2)ln(x² + 4) + C