1) (1,5 ponto, cada item) Resolva as seguintes integrais: (a)     dx xx x 63 2 13 1 (b)   dxxs...

(a) Para resolver a integral, podemos fazer a substituição trigonométrica x = sen(t). Então, dx = cos(t)dt e a integral se torna: ∫ [(1 + sen(t)) / (sen(t)² + 1)²] cos(t) dt Podemos usar a substituição u = sen(t)² + 1, então du/dt = 2sen(t)cos(t) e dt = du / (2sen(t)cos(t)). Substituindo na integral, temos: ∫ [(1 + u - 1) / u²] du / (2√u) Simplificando, temos: ∫ du / (2u√u) = ∫ du / (2u^(3/2)) Usando a regra da potência, temos: (1/2) ∫ u^(-3/2) du = -u^(-1/2) / √2 + C Substituindo de volta para x, temos: -[(sen(x)² + 1)^(-1/2)] / √2 + C (b) Para resolver a integral, podemos usar integração por partes. Fazendo u = x e dv/dx = sen(x)cos(3x), temos: ∫ x sen(x)cos(3x) dx = x [(-1/3)cos(x)cos(3x)] - ∫ [(-1/3)cos(x)cos(3x)] dx Usando integração por partes novamente, fazendo u = cos(x) e dv/dx = cos(3x), temos: ∫ x sen(x)cos(3x) dx = x [(-1/3)cos(x)cos(3x)] - [(-1/9)sen(x)sen(3x) - (1/27)cos(x)cos(3x)] + C (c) Para resolver a integral, podemos fazer a substituição x = tan(t). Então, dx = sec²(t)dt e a integral se torna: ∫ [(x - 2) / (x² + 1)²] dx = ∫ [(tan(t) - 2) / (tan(t)² + 1)²] sec²(t) dt Podemos usar a substituição u = tan(t)² + 1, então du/dt = 2tan(t)sec²(t) e dt = du / (2tan(t)sec²(t)). Substituindo na integral, temos: (1/2) ∫ [(u - 3) / u²] du Usando a regra da potência, temos: (1/2) ∫ u^(-2) du - (3/2) ∫ u^(-3) du = (-1/2u) - (3/4u²) + C Substituindo de volta para x, temos: (-1/2(x² + 1)) - (3/4(x² + 1)²) + C (d) Para resolver a integral, podemos usar integração por partes. Fazendo u = x e dv/dx = e^(x)cos(2x), temos: ∫ x e^(x)cos(2x) dx = x (1/5)e^(x)sen(2x) - (2/5) ∫ e^(x)sen(2x) dx Usando integração por partes novamente, fazendo u = sen(2x) e dv/dx = e^(x), temos: ∫ x e^(x)cos(2x) dx = x (1/5)e^(x)sen(2x) - (2/5) [e^(x)sen(2x)/2 - ∫ (1/2)e^(x)cos(2x) dx] Resolvendo a última integral usando integração por partes novamente, temos: ∫ (1/2)e^(x)cos(2x) dx = (1/2)e^(x)cos(2x)/2 + (1/4) ∫ e^(x)sen(2x) dx Substituindo de volta, temos: ∫ x e^(x)cos(2x) dx = x (1/5)e^(x)sen(2x) - (2/5) [e^(x)sen(2x)/2 - (1/4) ∫ e^(x)sen(2x) dx] Simplificando, temos: (5/8) ∫ e^(x)sen(2x) dx = (1/5)e^(x)sen(2x) - (2/5)e^(x)cos(2x)/4 - (1/4) ∫ e^(x)sen(2x) dx Resolvendo para a integral restante, temos: (9/32) ∫ e^(x)sen(2x) dx = (1/5)e^(x)sen(2x) - (2/5)e^(x)cos(2x)/4 Substituindo de volta para x, temos: ∫ x e^(x)cos(2x) dx = x (1/5)e^(x)sen(2x) - (2/5) [e^(x)sen(2x)/2 - (9/32) (1/5)e^(x)sen(2x) + (9/80) e^(x)cos(2x)] + C