A distância entre as retas paralelas 3y = 4x – 2 e 3y = 4x + 8 é: I- Encontrar a equação da reta perpendicular às retas dadas que passa por um pon...

Para encontrar a distância entre duas retas paralelas, podemos escolher um ponto em uma das retas e traçar uma reta perpendicular à outra reta que passe por esse ponto. Em seguida, encontramos o ponto de interseção entre a reta perpendicular e a outra reta paralela. A distância entre as duas retas é a distância entre o ponto encontrado e a outra reta paralela. I- A equação da reta perpendicular à 3y = 4x – 2 e 3y = 4x + 8 pode ser encontrada a partir do coeficiente angular das retas dadas. O coeficiente angular de uma reta perpendicular a uma reta com coeficiente angular m é -1/m. Portanto, a equação da reta perpendicular é y = (-4/3)x + b, onde b é a constante a ser determinada. II- Para encontrar o ponto de interseção entre a reta perpendicular e a reta 3y = 4x – 2, podemos substituir a equação da reta perpendicular na equação da reta 3y = 4x – 2 e resolver para x e y. Temos: 3(-4/3)x + 3b = 4x – 2 -4x + 3b = 4x – 2 7x = 3b + 2 x = (3b + 2)/7 Substituindo x na equação da reta perpendicular, temos: y = (-4/3)(3b + 2)/7 + b y = (-4/7)b + 2/7 Portanto, o ponto de interseção entre a reta perpendicular e a reta 3y = 4x – 2 é ( (3b + 2)/7 , (-4/7)b + 2/7 ). III- A distância entre o ponto encontrado em II e a outra reta dada, 3y = 4x + 8, pode ser encontrada usando a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. A fórmula é d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2), onde A, B e C são os coeficientes da equação geral da reta, e (x0, y0) é o ponto. Substituindo os valores, temos: d = |4((3b + 2)/7) - 3((-4/7)b + 2/7) + 8| / sqrt(4^2 + 3^2) d = |(12/7)b + 20/7| / 5 d = (12/7)b + 20/35 A distância entre as retas é a distância mínima entre um ponto de uma reta e a outra reta. Portanto, precisamos encontrar o valor de b que minimiza a distância. Para isso, podemos derivar a expressão da distância em relação a b e igualar a zero: d' = 12/7 12/7 = 0 b = -35/3 Substituindo b na expressão da distância, temos: d = (12/7)(-35/3) + 20/35 d = -240/49 Portanto, a distância entre as retas é de aproximadamente 4,90 unidades. A alternativa correta é a letra A).