Mostre que um elemento a ∈ Zn é invertível se, e somente se, mdc(a, n) = 1. Encontre os elementos invertíveis e os divisores de zero em Z18. Resolv...

a) Para mostrar que um elemento a ∈ Zn é invertível se, e somente se, mdc(a, n) = 1, precisamos provar duas coisas: - Se a é invertível, então mdc(a, n) = 1. - Se mdc(a, n) = 1, então a é invertível. Para provar a primeira afirmação, suponha que a é invertível em Zn. Isso significa que existe um elemento b ∈ Zn tal que ab ≡ 1 (mod n). Portanto, ab - 1 é múltiplo de n, ou seja, n | (ab - 1). Como mdc(a, n) divide ab e n, então mdc(a, n) divide ab - 1. Mas mdc(a, n) não pode ser maior do que 1, pois caso contrário não seria possível encontrar um elemento b tal que ab ≡ 1 (mod n). Portanto, mdc(a, n) = 1. Para provar a segunda afirmação, suponha que mdc(a, n) = 1. Isso significa que não existem fatores em comum entre a e n, exceto 1. Podemos usar o algoritmo de Euclides para encontrar um elemento b ∈ Zn tal que ab ≡ 1 (mod n). Como mdc(a, n) = 1, o algoritmo de Euclides nos dá uma expressão da forma ax + ny = 1, onde x e y são inteiros. Podemos reescrever essa expressão como ax ≡ 1 (mod n), o que significa que a é invertível em Zn. b) Os elementos invertíveis em Z18 são aqueles que têm mdc(a, 18) = 1. Como 18 = 2 x 3², os únicos elementos que não são invertíveis são aqueles que são múltiplos de 2 ou 3. Portanto, os elementos invertíveis em Z18 são: 1, 5, 7, 11, 13 e 17. Os divisores de zero em Z18 são aqueles elementos a ≠ 0 tais que ab = 0 para algum elemento b ≠ 0. Como 18 não é um número primo, existem divisores de zero em Z18. De fato, os divisores de zero em Z18 são: 2, 3, 6, 9, 10, 12, 14 e 15. c) Para resolver a equação 5x = 16x + 3 em Z18, podemos simplificá-la da seguinte forma: 5x - 16x = 3 -11x = 3 Podemos multiplicar ambos os lados por -5 para obter: 55x = -15 Como 55 ≡ 1 (mod 18), podemos simplificar ainda mais: x ≡ -15 (mod 18) x ≡ 3 (mod 18) Portanto, a solução da equação em Z18 é x = 3 + 18k, onde k é um inteiro.