Considere o polinômio ????(????) = 2????3 − ????2 + 6???? − 3, ???? ∈ ℝ. Encontre uma raiz racional não inteira (tipo ????/????, ???? e ???? números inteiros, ???? ≠ ...

Para encontrar uma raiz racional não inteira do polinômio, podemos utilizar o Teorema de Ruffini. Testando as possíveis raízes racionais, encontramos que -1/2 é uma raiz do polinômio. Aplicando o Teorema de Ruffini, obtemos: 2 | 2 -1 6 -3 | -4 2 -8 |------------- | 2 -5 8 -11 Assim, o polinômio pode ser fatorado como: 2x^3 - x^2 + 6x - 3 = (2x + 1)(x^2 - 5x + 3) O fator x^2 - 5x + 3 é um trinômio quadrático que não possui raízes racionais, pois não há dois números inteiros cuja soma é -5 e cujo produto é 3. Portanto, a fatoração do polinômio em ℝ é: 2x^3 - x^2 + 6x - 3 = (2x + 1)(x - α)(x - β), onde α e β são as raízes do trinômio quadrático x^2 - 5x + 3, que podem ser encontradas utilizando a fórmula de Bhaskara: α = (5 - √13)/2 e β = (5 + √13)/2 Assim, a fatoração completa do polinômio em ℝ é: 2x^3 - x^2 + 6x - 3 = (2x + 1)(x - (5 - √13)/2)(x - (5 + √13)/2)

Para encontrar uma raiz racional não inteira do polinômio �(�)=2�3−�2+6�−3

P(x)=2x3

−x2

+6x−3, podemos utilizar o Teorema da Raiz Racional, que afirma que qualquer raiz racional ��

q

p

​ de �(�)

P(x) deve satisfazer �

p como fator do termo independente (neste caso, -3) e �

q como fator do coeficiente líder (neste caso, 2).

Os fatores de -3 são ±1,±3

±1,±3, e os fatores de 2 são ±1,±2

±1,±2. Portanto, as possíveis raízes racionais são ±1,±3,±12,±32

±1,±3,±2

1

​,±2

3

​.

Vamos testar essas possíveis raízes utilizando a Regra de Ruffini ou substituindo �

x pela raiz candidata para ver se �(�)

P(x) é igual a zero.

Vamos escolher �=−12

x=−2

1

​:

−122−16−3−132−942−2152−214

−

Como o resto não é zero, �=−12

x=−2

1

​ não é uma raiz racional.

Vamos tentar �=12

x=2

1

​:

122−16−31032060

2

1

​

Agora, temos um resto de zero, o que significa que �=12

x=2

1

​ é uma raiz racional.

Agora que encontramos uma raiz racional �=12

x=2

1

​, podemos utilizar a divisão polinomial para fatorar o polinômio. A divisão polinomial nos dá:

�(�)=(�−12)(2�2+2�−6)

P(x)=(x−2

1

​)(2x2

+2x−6)

Agora, o segundo fator 2�2+2�−6

2x2

+2x−6 é um trinômio quadrado perfeito, e podemos fatorá-lo como:

�(�)=(�−12)(2�−3)2

P(x)=(x−2

1

​)(2x−3)2

Portanto, a fatoração completa de �(�)

P(x) em �

R é �(�)=(�−12)(2�−3)2

P(x)=(x−2

1

​)(2x−3)2