Sejam f (x) =x3 −5x+3. a) Verifique que f (x) possui um zero no intervalo (0,1) e aplique o m étodo de Newton para o cálculo do zero de f (x) no ...

a) Para verificar que f(x) possui um zero no intervalo (0,1), podemos observar que f(0) = 3 e f(1) = -1. Como f(0) é positivo e f(1) é negativo, pelo Teorema de Bolzano, sabemos que existe pelo menos um zero de f(x) no intervalo (0,1). Para aplicar o método de Newton, precisamos calcular a derivada de f(x), que é f'(x) = 3x² - 5. Então, temos: x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) x1 = 0.5 - (0.5³ - 5*0.5 + 3)/(3*0.5² - 5) x1 = 0.6666666667 x2 = x1 - f(x1)/f'(x1) x2 = 0.6666666667 - (0.6666666667³ - 5*0.6666666667 + 3)/(3*0.6666666667² - 5) x2 = 0.6823278038 x3 = x2 - f(x2)/f'(x2) x3 = 0.6823278038 - (0.6823278038³ - 5*0.6823278038 + 3)/(3*0.6823278038² - 5) x3 = 0.6823278038 Portanto, o zero de f(x) no intervalo (0,1) com precisão ε < 10^-3 é aproximadamente 0.682. b) Um outro método que podemos utilizar é o método da bissecção. Esse método consiste em dividir o intervalo em duas partes iguais e verificar em qual das partes a função muda de sinal. Em seguida, repetimos o processo na parte em que a função muda de sinal até atingir a precisão desejada. Aplicando o método da bissecção com precisão ε < 10^-3, temos: x1 = (0 + 1)/2 = 0.5 f(x1) = -1 x2 = (0 + 0.5)/2 = 0.25 f(x2) = 1.859375 x3 = (0.25 + 0.5)/2 = 0.375 f(x3) = 0.578125 x4 = (0.375 + 0.5)/2 = 0.4375 f(x4) = -0.23828125 x5 = (0.375 + 0.4375)/2 = 0.40625 f(x5) = 0.1748046875 x6 = (0.40625 + 0.4375)/2 = 0.421875 f(x6) = -0.03393554688 x7 = (0.40625 + 0.421875)/2 = 0.4140625 f(x7) = 0.07098388672 x8 = (0.4140625 + 0.421875)/2 = 0.41796875 f(x8) = 0.01852416992 x9 = (0.41796875 + 0.421875)/2 = 0.419921875 f(x9) = -0.007385253906 x10 = (0.41796875 + 0.419921875)/2 = 0.4189453125 f(x10) = 0.005556106567 x11 = (0.4189453125 + 0.419921875)/2 = 0.4194335938 f(x11) = -0.0009155273438 Portanto, o zero de f(x) no intervalo (0,1) com precisão ε < 10^-3 é aproximadamente 0.419. Comparando com o método de Newton, podemos observar que o método da bissecção é mais lento, pois requer mais iterações para atingir a precisão desejada.