A equação diferencial para a velocidade d e uma massa em que sujeita à resistência do ar proporcional à velocidade instantânea é Em que é uma con...
Em que é uma constante de proporcionalidade positiva.
(a) Resolva a equação sujeita a condição inicial .
(b) Determine a velocidade limite, ou terminal, da massa.
(c) Se a distância está relacionada com a velocidade através da igualdade ,
encontre uma expressão explicita para , supondo que .
Sob certas circunstâncias, um corpo movendo-se através do ar encontra uma resistência que é proporcional à sua velocidade . Em geral, a resistência do ar é diretamente proporcional a uma potência positiva da velocidade do corpo – quanto mais rapidamente o corpo se move, maior a resistência. Para corpos movendo-se em alta velocidade, tais como projeteis ou paraquedistas em queda livre, a resistência do ar é frequentemente tida como proporcional a . Veja também o Problema 8, página 134.
(a) Resolver a equação diferencial sujeita a condição inicial.
(b) Determinar a velocidade limite, ou terminal, da massa.
(c) Encontrar uma expressão explícita para , supondo que .
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💡 1 Resposta
Ed 
A equação diferencial para a velocidade d e uma massa em que sujeita à resistência do ar proporcional à velocidade instantânea é: mdv/dt = mg - kv Onde m é a massa da partícula, g é a aceleração devida à gravidade, k é a constante de proporcionalidade positiva e v é a velocidade da partícula. (a) Resolvendo a equação sujeita a condição inicial v(0) = v0, temos: v(t) = (mg/k) + Ce^(-kt/m) Onde C é uma constante determinada pela condição inicial. (b) A velocidade limite, ou terminal, da massa é alcançada quando a força de resistência do ar é igual à força gravitacional, ou seja, quando mdv/dt = 0. Portanto, temos: mg - kv_t = 0 Onde v_t é a velocidade terminal. Logo: v_t = mg/k (c) Se a distância está relacionada com a velocidade através da igualdade: ds/dt = v Então, temos: ds/dt = (mg/k) + Ce^(-kt/m) Integrando ambos os lados em relação ao tempo, temos: s(t) = (mg/k)t + (mC/k)(1 - e^(-kt/m)) Substituindo a condição inicial s(0) = 0, temos: s(t) = (mg/k)(1 - e^(-kt/m)) Espero ter ajudado!
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