Questão 27 - Pág 115 - Equações Diferenciais - Zill

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Questão 27 – Página 115 AID: 20 | 15/08/2016
Enunciado:
A equação diferencial para a velocidade d e uma massa em que sujeita à resistência do ar proporcional à velocidade instantânea é
Em que é uma constante de proporcionalidade positiva.
(a) Resolva a equação sujeita a condição inicial .
(b) Determine a velocidade limite, ou terminal, da massa.
(c) Se a distância está relacionada com a velocidade através da igualdade , encontre uma expressão explicita para , supondo que .
Sob certas circunstâncias, um corpo movendo-se através do ar encontra uma resistência que é proporcional à sua velocidade . Em geral, a resistência do ar é diretamente proporcional a uma potência positiva da velocidade do corpo – quanto mais rapidamente o corpo se move, maior a resistência. Para corpos movendo-se em alta velocidade, tais como projeteis ou paraquedistas em queda livre, a resistência do ar é frequentemente tida como proporcional a . Veja também o Problema 8, página 134.
Solução:
(a)
A partir de podemos reescreve-la da seguinte forma:
Como o fator de integração é , podemos escrever a expressão da seguinte forma:
Integrando a expressão obtida, temos:
Como então e a solução do problema com valor inicial é:
(b)
Quando a velocidade limite é .
(c)
A partir de e nós obtemos:
k
(
)
0
0
vv
=
s
/
dsdtv
=
s
(
)
0
0
ss
=
2
v
dv
mmgkv
dt
dvkv
g
dtm
=-
+=
ktm
e
 
 
ktmktmktm
ktmktm
dvkv
g
dtm
dvkv
eeeg
dtm
dveegdt
+=
+=
éù
=
ëû
(
)
 
 
 
ktmktm
ktm
ktm
ktm
ktm
dveegdt
eg
vec
km
gm
vce
k
gm
vtce
k
-
-
éù
=
ëû
=+
=+
=+
òò
0
gm
cv
k
=-
(
)
0
ktm
gmgm
vtve
kk
-
æö
=+-
ç÷
èø
v
t
®¥
gm
k
ds
v
dt
=
(
)
0
0
ss
=
000
ktm
gmmgmmgm
stvesv
kkkkk
-
æöæö
=--++-
ç÷ç÷
èøèø
m
v
mdmgkv
dt
=-