Seja a matriz 1 z M , z z   =   −  onde z é o número complexo 4 4 z cos isen , 3 3 π π    = +        z o seu conjugado e os ângul...

Question

Seja a matriz 1 z M , z z   =   −  onde z é o número complexo 4 4 z cos isen , 3 3 π π    = +        z o seu conjugado e os ângulos estão expressos em radianos. O determinante de M é:

a) 2 2 / 2 cos isen 3 3 π π     +         
b) 4 4 / 2 cos isen 3 3 π π     +         
c) 8 8 / 2 cos isen 3 3 π π     −         
d) cos( ) isen( )π π+
e) cos(2 ) isen(2 )π π+

Ed · Answer

Para calcular o determinante da matriz M, basta aplicar a fórmula do determinante de matriz 2x2 em cada uma das submatrizes da matriz M. Assim, temos:

det(M) = |1 z|
            |z z|

det(M) = 1*z - z*z
det(M) = z - z^2

Substituindo z por 4(cos(3π/4) + i*sen(3π/4)), temos:

det(M) = 4(cos(3π/4) + i*sen(3π/4)) - 16(cos^2(3π/4) + i*sen^2(3π/4))
det(M) = 4(cos(3π/4) + i*sen(3π/4)) - 16(-1/2 + i*1/2)
det(M) = 4(cos(3π/4) + i*sen(3π/4)) + 8 + 8i

det(M) = 4(cos(3π/4) + i*sen(3π/4)) + 8(1 + i)

det(M) = 4(-1/√2 + i*(-1/√2)) + 8(1 + i)
det(M) = -4√2 + 4i√2 + 8 + 8i

det(M) = 8 + 4i√2

Portanto, a alternativa correta é a letra E) cos(2π/3) + i*sen(2π/3).

Seja a matriz 1 z M , z z   =   −  onde z é o número complexo 4 4 z cos isen , 3 3 π π    = +        z o seu conjugado e os ângul...

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