O conjunto solução, no intervalo [0, 2π], da inequação trigonométrica cos(2x) + 3cos(x) + 2 ≤ 0 é dada por a) 2π/3, 4π/3. b) 2π/3. c) 5π/3, 2π/3....

Para resolver a inequação trigonométrica cos(2x) + 3cos(x) + 2 ≤ 0, podemos fazer a seguinte substituição: cos(x) = t. Assim, temos: cos(2x) + 3cos(x) + 2 ≤ 0 2cos²(x) - 1 + 3cos(x) + 2 ≤ 0 2t² + 3t + 1 ≤ 0 Agora, podemos resolver a equação do segundo grau 2t² + 3t + 1 = 0: t = (-3 ± √(3² - 4.2.1)) / (2.2) t = (-3 ± √5) / 4 Portanto, temos duas raízes: t1 = (-3 + √5) / 4 e t2 = (-3 - √5) / 4. Como cos(x) = t, podemos encontrar os valores de x correspondentes: cos(x) = (-3 + √5) / 4 ou cos(x) = (-3 - √5) / 4 Para encontrar os valores de x no intervalo [0, 2π], podemos usar a tabela de valores do círculo trigonométrico. Assim, temos: cos(x) = (-3 + √5) / 4 x = arccos((-3 + √5) / 4) ≈ 2,094 ou x = 2π - arccos((-3 + √5) / 4) ≈ 4,189 cos(x) = (-3 - √5) / 4 x = arccos((-3 - √5) / 4) ≈ 0,722 ou x = 2π - arccos((-3 - √5) / 4) ≈ 5,620 Portanto, o conjunto solução da inequação trigonométrica cos(2x) + 3cos(x) + 2 ≤ 0 no intervalo [0, 2π] é dado pela alternativa c) 5π/3, 2π/3.