06 - (ITA SP) Duas esferas tangentes de raios R e r' (R > r') têm seus centros A e B sobre uma reta. Uma terceira esfera, tangente às duas primeira...

Podemos resolver essa questão utilizando a relação entre os raios das esferas e a relação entre seus volumes. Seja R o raio da esfera maior e r' o raio da esfera menor. A esfera tangente às duas primeiras tem raio r e, como os pontos A, B e C estão alinhados, temos que a distância entre B e C é d(B,C) = 2d(A,B). Pela condição de tangência, temos que a distância entre os centros das esferas maiores é R + r' e a distância entre os centros das esferas menor e maior é R - r'. Assim, temos: R + r' = d(A,B) + d(B,C) + d(C,A) = d(A,B) + r + r' R - r' = d(B,C) = 2d(A,B) Substituindo a segunda equação na primeira, obtemos: 2R = d(A,B) + 2r R = d(A,B)/2 + r Substituindo na fórmula do volume da esfera, temos: V(R) = (4/3)πR³ = (4/3)π[(d(A,B)/2) + r]³ V(r') = (4/3)πr'³ = (4/3)π[(d(A,B)/2) - r']³ Dividindo a segunda equação pela primeira, temos: V(r')/V(R) = [(d(A,B)/2) - r']³ / [(d(A,B)/2) + r]³ Substituindo a relação d(B,C) = 2d(A,B) e simplificando, obtemos: V(r')/V(R) = (r'/R)³ = (r'/r)³ / (R/r)³ = (r'/r)³ / [(d(A,B)/2r) + 1]³ Substituindo os valores das alternativas, temos: a) (27/1)³ / [(2r'/R) + 1]³ = 19683 / 27 = 729 b) (16/1)³ / [(3r'/R) + 1]³ = 4096 / 64 = 64 c) (9/1)³ / [(4r'/R) + 1]³ = 729 / 125 = 5,832 d) (8/1)³ / [(5r'/R) + 1]³ = 512 / 216 = 2,37 e) (4/1)³ / [(7r'/R) + 1]³ = 64 / 343 = 0,19 Portanto, a alternativa correta é a letra a), 27/1.