4. Determinar as trajetórias ortogonais a cada uma das seguintes famílias de curvas (a) y = cx3; (b) cx2 + y2 = 1; (c) y = ecx; (d) y = x− 1 + ...

(a) Para determinar as trajetórias ortogonais à família de curvas y = cx³, podemos utilizar a relação entre as derivadas das curvas ortogonais. Derivando implicitamente a equação y = cx³, temos: dy/dx = 3cx² A derivada da curva ortogonal será o inverso oposto da derivada da curva original, ou seja: dy/dx = -1/(3cx²) Igualando as duas expressões para dy/dx, temos: 3cx² = -1/(3cx²) Multiplicando ambos os lados por 3c²x⁴, temos: 9c⁴x⁶ = -1 Isolando x, temos: x = ±(1/(3c²))^(1/6) Substituindo x na equação original, temos: y = ±(1/3)^(1/2)(1/(3c²))^(1/2) Portanto, as trajetórias ortogonais à família de curvas y = cx³ são as curvas dadas por x = ±(1/(3c²))^(1/6) e y = ±(1/3)^(1/2)(1/(3c²))^(1/2). (b) Para determinar as trajetórias ortogonais à família de curvas cx² + y² = 1, podemos utilizar a mesma relação entre as derivadas das curvas ortogonais. Derivando implicitamente a equação cx² + y² = 1, temos: dy/dx = -cx/y A derivada da curva ortogonal será o inverso oposto da derivada da curva original, ou seja: dy/dx = y/cx Igualando as duas expressões para dy/dx, temos: y/cx = -cx/y Multiplicando ambos os lados por x², temos: y² = -c²x² Isolando y, temos: y = ±(c²x²)^(1/2) Substituindo y na equação original, temos: cx² + c²x² = 1 Simplificando, temos: x² = 1/(c² + 1) Portanto, as trajetórias ortogonais à família de curvas cx² + y² = 1 são as curvas dadas por x = ±(1/(c² + 1))^(1/2) e y = ±c(1/(c² + 1))^(1/2). (c) Para determinar as trajetórias ortogonais à família de curvas y = e^cx, podemos utilizar a mesma relação entre as derivadas das curvas ortogonais. Derivando implicitamente a equação y = e^cx, temos: dy/dx = ce^cx A derivada da curva ortogonal será o inverso oposto da derivada da curva original, ou seja: dy/dx = -1/(ce^cx) Igualando as duas expressões para dy/dx, temos: ce^cx = -1/(ce^cx) Multiplicando ambos os lados por -c, temos: -e^cx = 1/(ce^cx) Multiplicando ambos os lados por e^2cx, temos: -e^3cx = e^cx Isolando x, temos: x = ln(-1/e^2c)/3 ou x = ln(1/e^2c)/3 Substituindo x na equação original, temos: y = ±(1/3)^(1/2)e^(-2cx/3) Portanto, as trajetórias ortogonais à família de curvas y = e^cx são as curvas dadas por x = ln(-1/e^2c)/3 ou x = ln(1/e^2c)/3 e y = ±(1/3)^(1/2)e^(-2cx/3). (d) Para determinar as trajetórias ortogonais à família de curvas y = x-1 + ce^-x, podemos utilizar a mesma relação entre as derivadas das curvas ortogonais. Derivando implicitamente a equação y = x-1 + ce^-x, temos: dy/dx = 1 - ce^-x A derivada da curva ortogonal será o inverso oposto da derivada da curva original, ou seja: dy/dx = ce^-x - 1 Igualando as duas expressões para dy/dx, temos: ce^-x - 1 = 1 - ce^-x Simplificando, temos: ce^-x = 1/2 Isolando x, temos: x = ln(2/c) Substituindo x na equação original, temos: y = ln(2/c) - 1 + ce^-ln(2/c) Simplificando, temos: y = ln(2c/3) - 1 Portanto, as trajetórias ortogonais à família de curvas y = x-1 + ce^-x são as curvas dadas por x = ln(2/c) e y = ln(2c/3) - 1.