Questão resolvida - Determinar as coordenadas do cg da região limitada pelas curvas yx, xy2 e y0 no primeiro quadrante - centroide de região entre curvas - Cálculo II - Unigran EAD

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• Determinar as coordenadas do cg da região limitada pelas curvas , e y = x2 x+ y = 2
 no primeiro quadrante.y = 0
 
Resolução:
 
Para determinar o cg (que é o mesmo que centróide), vamos, primeiro, definir o seu gráfico. 
Devemos encontrar o ponto de intercessão entre a curva e a reta;
 
y = x x = y2 → 2
Substiruindo na reta, temos;
 
x+ y = 2 y + y = 2 y + y - 2 = 0→ 2 → 2
 
Temos uma equação do 2° grau, resolvendo;
 
y + y - 2 = 02
 
y = y' = = = = = 1
- 1 ±
2 ⋅ 1
( ) 1 - 4 ⋅ 1 ⋅ -2( )2 ( )
→
-1 +
2
1- 8 -1 +
2
9 -1 + 3
2
2
2
 
 y" = = = = = - 2
-1-
2
1- 8 -1-
2
9 -1- 3
2
-4
2
Como desejamos calcular a área no primeiro quadrante, o intercessão que nos interessa é 
para , assim, o , substituindo o encontrado na equação da reta, é;y = 1 x y
 
x+ 1 = 2 x = 2- 1 x = 1 ponto 1, 1→ → → ( )
 
A reta toca os eixos x e y em 2; substituindo alguns valores na curva, obtemos seu 
comportamento;
 
x = 4 y y = 4 y = y = 2→ 2 → 2 → 4 →
 
x = y = y = y =
1
4
→
2
1
4
→
1
4
→
1
2
 
 
 
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico da região que queremos encontrar o 
centróide;
 
As coordenadas do centróide da figura são dados por;
 
=x⏨
xdA
1dA
b
a
∫
f
g
∫
b
a
∫
f
g
∫
 
 
=y⏨
ydA
1dA
b
a
∫
f
g
∫
b
a
∫
f
g
∫
 
O próximo passo é achar a área da região, esta área, usando integrais duplas, é;
 
A = 1dAR
b
a
∫
f
g
∫
 , já que as curvas variam no eixo , ou seja, as curvas de baixo e de cima estão dA = dxdy x
definidas em função de , já o limites de integração a e b, são 0 e 1 respectivamente. y
Devemos colocar a reta e a parábola em função de y;
 
 
 
y = x x = y2 → 2
 
x+ y = 2 x = 2- y→
 
Assim, a área da região fica;
 
A = 1dxdy = x dx = 2- y - y dy = 2y - -R
1
0
∫ ∫
2-y
y2
1
0
∫
2-y
y2
1
0
∫ 2 y
2
2 y
3
3 1
0
 
A = 2 ⋅ 1- - - 2 ⋅ 0- -R
1
2
( )2 1
3
( )3 0
2
( )2 0
3
( )3
 
A = 2- - - 0 A = A = u. a.R
1
2
1
3
→ R
12- 6- 2
6
→ R
7
6
 
 Encontrada a área dá região, vamos calcular a integral dupla do numerado de , seguindo x⏨
a mesma lógica da integral de área para definir os limites de integração e para definir o ;dA
 
xdA = xdxdy
b
a
∫
f
g
∫
1
0
∫ ∫
2-y
y2
Resolvendo;
 
xdxdy = dy = 2- y - -y dy = 4- 4y+ y - y dy
1
0
∫ ∫
2-y
y2
1
0
∫ x
2
2 2-y
y2
1
2
1
0
∫ ( )2 2 2 1
2
1
0
∫ 2 4
 
= 4y - 4 + - = 4 ⋅ 1- 2 1 + - - 4 ⋅ 0- 2 0 + -
1
2
y
2
2 y
3
3 y
5
5 1
0
1
2
( )2
1
3
( )3 1
5
( )5
( )2
0
3
( )3 0
5
( )5
 
= 4- 2 + - - 0 = 2 + - = ⋅ = ⋅ =
1
2
1
3
1
5
1
2
1
3
1
5
1
2
30 + 5- 3
15
1
2
32
15
16
15
Agora, calculamos a integral dupla do numerado de , seguindo a mesma lógica da integral y⏨
de área para definir os limites de integração e para definir o ;dA
 
 
 
ydA = ydxdy = yx dy = y 2- y - y dy = 2y - y - y dy
b
a
∫
f
g
∫
1
0
∫ ∫
2-y
y2
1
0
∫
2-y
y2
1
0
∫ 2
1
0
∫ 2 3
 
= 2 ⋅ - - = 1- - - 2 ⋅ 0- - = 1- - - 0 =
y
2
2 y
3
3 y
4
4 1
0
1
3
( )3 1
4
( )4 0
2
( )2 0
3
( )3 1
3
1
4
12- 4- 3
12
 
ydydx =
1
0
∫ ∫
2-x
x
5
12
 
Finalmente, temos que as coordenadas dos centróides da região são;
 
= = = ⋅ = ⋅ =x⏨
xdydx
1dydx
1
0
∫ ∫2-x
x
1
0
∫ ∫2-x
x
16
15
7
6
16
15
6
7
16
5
2
7
32
35
 
 
= = = ⋅ = ⋅ =y⏨
ydydx
1dydx
1
0
∫ ∫2-x
x
1
0
∫ ∫2-x
x
5
12
7
6
5
12
6
7
5
2
1
7
5
14
 
Logo, o ponto do centróide da região é;
 
,
32
35
5
14
 
 
(Resposta )