Questão resolvida - Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y 4, da região limitada por y 1_x , y 4 e x 4 - cálculo II - Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

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● Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta , da região y = 4
limitada por , e .y =
1
x
y = 4 x = 4
 
 
Resolução:
 
Abaixo, temos uma representação da região e como esta deve girar para encontrarmos o 
volume que desejamos;
 
 
y
Usando o método dos discos, o volume de região da região é dado por;
 
V = 𝜋 f x dx
b
a
∫ [ ( )]2
 
Antes de aplicar a fórmula, é preciso fazer uma translação no eixo de forma que o eixo y
sobre o qual queremos rotacionar coincida com a origem. Para isso, vamos subtrair 4 
unidades das curvas em suas coodenadas , encontrando assim, uma curva corespondente y
em um eixo ;y'
 
y' = - 4 e y' = 4 - 4 = 0
1
x
 
 
(1)
Com isso, a representação da região que desejamos rotacionar fica;
Temos, agora, um novo eixo, em que , coicidindo com a origem, e curva y' = 0 y =
1
x
coincide com a curva . se , temos;y' = - 4 
1
x
y' = 0
0 = - 4 - 4 = 0 = 4 1 = 4x 4x = 1 x =
1
x
→
1
x
→
1
x
→ → →
1
4
 
 
y'
x
0
y' = - 4
1
x
Como a área é delimitada pelas e , temos que o limite de integração vai de a y' = 0 x = 4
1
4
. Substituindo essas informações na equação 1, temos que o volume desejado é dado pela 4
integral;
 
V = 𝜋 - 4 dx
4
∫
1
4
1
x
2
Rearrumando os termos, temos;
 
V = 𝜋 + 2 ⋅ -4 ⋅ + -4 dx = 𝜋 - 4 ⋅ + 16 dx
4
∫
1
4
1
x
2
( )
1
x
( )2
4
∫
1
4
1
x
2
2
2
x
 
V = 𝜋 - + 16 dx = 𝜋 x - + 16 dx
4
∫
1
4
1
x2
8
x
4
∫
1
4
-2 8
x
 
Primeiro, vamos resolver a integral em sua forma indefinida;
 
I = 𝜋 x - + 16 dx = 𝜋 x dx - 𝜋 dx + 𝜋 16dx∫ -2 8
x
∫ -2 ∫8
x
∫
 
= 𝜋 - 8𝜋 dx + 16𝜋x = 𝜋 - 8𝜋ln|x| + 16𝜋x + c
x
-2 + 1
-2+1( )
∫1
x
x
-1
-1
 
I = 𝜋 - - 8ln|x| + 16x + c
1
x
 
Agora, voltando para a integral definida que resultata no volume desejado, fica; 
 
V = 𝜋 - 4 dx = 𝜋 - - 8ln|x| + 16x
4
∫
1
4
1
x
2
1
x
4
1
4
 
 
Resolvendo;
 
V = 𝜋 - - 8ln|4| + 16 ⋅ 4 - 𝜋 - - 8ln| | + 16 ⋅
1
4
1
1
4
1
4
1
4
 
V = 𝜋 - - 8ln|4| + 64 - 𝜋 - ⋅ - 8ln| | +
1
4
1
1
4
1
1
4
16
4
V = 𝜋 - 8ln|4| + 8𝜋ln = + 8𝜋ln - 8𝜋ln|4|
-1 + 255
4
1
4
127𝜋
4
1
4
 
V = + 8𝜋ln = + 8𝜋ln = + 8𝜋ln 16 = + 8𝜋ln 2
255𝜋
4
1
4 ⋅ 4
255𝜋
4
1
16
255𝜋
4
-1 255𝜋
4
( )3
-1
 
V = + 8𝜋ln 2 = + 8𝜋ln 2 = - 3 ⋅ 8𝜋ln 2
255𝜋
4
( )3
-1 255𝜋
4
( )-3
255𝜋
4
 
V = 𝜋 - 32ln 2 u. v.
255
4
 
 
V = 𝜋 - - 8ln|4| + 64 - 𝜋 -4 - 8ln| | + 4
1 + 4 ⋅ 32
4
1
4
(Resposta)