6. Aplicar o Teorema de Picard para mostrar que cada um dos seguintes PVIs tem uma e uma só solução num intervalo suficientemente pequeno, |x− 1| <...

Para aplicar o Teorema de Picard, precisamos verificar se a função f(x,y) é contínua e Lipschitz em relação a y em uma região em torno do ponto inicial (1,-2) para a equação (a) e (1,0) para a equação (b). (a) Temos f(x,y) = x^2sen(y), que é contínua e Lipschitz em relação a y em uma região em torno do ponto (1,-2). Portanto, pelo Teorema de Picard, a equação tem uma e apenas uma solução em um intervalo suficientemente pequeno |x-1| < δ. (b) Temos f(x,y) = y^2/(x-2), que é contínua e Lipschitz em relação a y em uma região em torno do ponto (1,0), exceto quando x = 2. Portanto, pelo Teorema de Picard, a equação tem uma e apenas uma solução em um intervalo suficientemente pequeno |x-1| < δ, exceto quando x = 2.