Use o método da iteração de Picard para encontrar 4 aproximações das soluções dos seguintes problemas de valor inicial: y′ = sin y + 1, y(0) = 0 y′...

Para o problema de valor inicial y′ = sin y + 1, y(0) = 0, podemos usar o método da iteração de Picard para encontrar as aproximações da solução: y0(t) = 0 yn(t) = ∫(sin y_n-1(t) + 1) dt Podemos calcular as próximas aproximações usando a fórmula acima: y1(t) = ∫(sin 0 + 1) dt = t + C y2(t) = ∫(sin(t + C) + 1) dt = -cos(t + C) + t + C + D y3(t) = ∫(sin(-cos(t + C) + t + C + D) + 1) dt y4(t) = ∫(sin(sin(-cos(t + C) + t + C + D) + 1) + 1) dt Para o problema de valor inicial y′ = (3t^2 + 4t + 2)/2(y − 1), y(0) = 0, podemos usar o método da iteração de Picard para encontrar as aproximações da solução: y0(t) = 0 yn(t) = 1 + ∫(3t^2 + 4t + 2)/2 y_n-1(t) dt Podemos calcular as próximas aproximações usando a fórmula acima: y1(t) = 1 + ∫(3t^2 + 4t + 2)/2 * 0 dt = 1 y2(t) = 1 + ∫(3t^2 + 4t + 2)/2 * 1 dt = t^3 + 2t^2 + t + C y3(t) = 1 + ∫(3t^2 + 4t + 2)/2 * (t^3 + 2t^2 + t + C) dt y4(t) = 1 + ∫(3t^2 + 4t + 2)/2 * (t^3 + 2t^2 + t + C) dt Lembrando que as constantes C e D devem ser determinadas a partir das condições iniciais.