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Prova Impressa GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:956705) Peso da Avaliação 2,00 Prova 81818308 Qtd. de Questões 10 Acertos/Erros 10/0 Nota 10,00 Os conceitos de Geometria ensinados no Ensino Médio não possibilitam o cálculo de áreas de regiões limitadas por curvas arbitrárias. Para resolver esse tipo de problema, é necessário utilizar o conceito de integral definida, comumente estudado nas disciplinas de Cálculo. Um exemplo prático disso é o cálculo da área de uma região no plano delimitada por curvas. Considere as curvas definidas por 2y = x e y = x². Indique a alternativa que apresenta a área delimitada por essas duas curvas. A 1/12. B 5/48. C 7/12. D 5/7. E 1/48. Para calcular a área de interseção entre curvas usando integrais, é fundamental definir corretamente os limites de integração ao longo do eixo x, que em alguns casos é definido pelos pontos de intersecção das curvas. Dessa forma, observe o setor de área definido pelas funções f e g na ilustração a seguir VOLTAR A+ Alterar modo de visualização 1 2 17/05/2024, 18:53 Avaliação II - Individual about:blank 1/6 Considerando as informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. Para calcular a área deste setor, é necessário aplicar a integral PORQUE II. A integral que envolve o cálculo de área entre curvas, é sempre definido pela diferença da curva que está por baixo (ao quadrado) com a curva que está por acima (também quadrado). A respeito dessas asserções, assinale a opção correta: A As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. B A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa. C As asserções I e II são falsas. D As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. E A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira. Quando uma região plana é girada em torno de uma reta no plano, ela dá origem a uma figura tridimensional conhecida como sólido de revolução. Esse processo, chamado de revolução, transforma a região plana em um objeto sólido com características específicas. A reta em torno da qual a região gira é denominada eixo de rotação. Este conceito é fundamental no estudo do cálculo integral, pois permite calcular volumes de sólidos complexos através da integração de funções que descrevem as regiões planas envolvidas. Com relação à representação do volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, limitado pela curva y = x2, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 5, selecione a alternativa correta que apresenta esse resultado: A V = 125π/3 u.v. B V = 25π u.v. C V = 125π u.v. D V = 625π u.v. E V = 5π u.v. O comprimento de arco de uma curva é calculado utilizando integrais, uma ferramenta poderosa da análise matemática. Ao dividir a curva em segmentos infinitesimais e somar suas contribuições, podemos obter uma estimativa precisa do comprimento total. Esse processo é fundamental em várias áreas, como geometria diferencial e física, onde o movimento de partículas é descrito por trajetórias curvilíneas. 3 4 17/05/2024, 18:53 Avaliação II - Individual about:blank 2/6 Sendo assim, assinale entre as opções, aquela que apresenta o comprimento do arco da curva para y = 3x - 1, com 2 ≤ x ≤ 7. Utilize A 5√10. B 2√5. C 5√4. D 7√4. E 7√10. Segundo o conceito físico estabelecido pela Lei de Hooke, a força necessária para distender uma mola por uma certa quantidade de unidades x é diretamente proporcional à extensão da distensão x. Matematicamente, isso é expresso pela equação F = k⋅x, onde k é a constante de proporcionalidade conhecida como constante elástica da mola. O trabalho realizado por uma força variável é dado pela integral da função força, no intervalo fixado pela origem e término do deslocamento realizado Desta forma, supondo que 1,95 J de trabalho foram necessários para estender uma mola de 10 cm para 16 cm de comprimento, assinale entre as opções, aquela que forneça o valor da constante elástica desta mola. Obs.: todos os dados devem ser utilizados dentro do Sistema Internacional de Unidades (SI). Utilize o intervalo de integração conforme os dados apresentados. A 260 N/m. B 280 N/m. C 220 N/m. D 200 N/m. E 250 N/m. Considere uma partícula de massa m que se move ao longo do eixo x sob a influência de uma força variável dada pela função Esta partícula é deslocada do ponto x = 0 até x = 2. O trabalho realizado sobre a partícula ao longo deste deslocamento é uma medida da energia transferida para ela durante esse processo. 5 6 17/05/2024, 18:53 Avaliação II - Individual about:blank 3/6 Determine entre as opções, qual foi o trabalho realizado sobre a partícula ao longo deste deslocamento. Obs.: todos os dados estão expressos em unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI). A 5 J. B 6 J. C 4,2 J. D 3 J. E 2 J. Ao resolver o volume de um sólido de revolução em relação aos eixos e intersecções de curvas, é crucial escolher o método de resolução apropriado, levando em consideração as características específicas da região plana e do sólido gerado. Por exemplo, ao lidar com uma região limitada por curvas que se intersectam em múltiplos pontos, pode ser necessário encontrar tais pontos, para então dar continuidade no processo de cálculo. Sendo assim, determine entre as opões a seguir, o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y, limitado pelas curvas y = x2, y = x – 2 e pelas retas y = 0 e y = 1: A V = 35π/6 u.v. B V = 4π/3 u.v. C V = 2π u.v. D V = 3π/2 u.v. E V = 12π/5 u.v. Ao lidar com integrais que apresentam um ponto de descontinuidade dentro do intervalo de integração, é crucial aplicar cuidadosamente os conceitos de integração, considerando os diferentes comportamentos da função ao redor desse ponto. Considerando as informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. Para calcular a integral a seguir, é necessário separar em duas partes PORQUE II. Há uma descontinuidade na função no ponto x = 1, onde o denominador não pode ser zero. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta: A As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. B A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa. 7 8 17/05/2024, 18:53 Avaliação II - Individual about:blank 4/6 C A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira. D As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. E As asserções I e II são falsas. Integrais impróprias são uma extensão importante do conceito de integração em cálculo. Elas surgem quando as funções a serem integradas apresentam comportamentos singulares nos limites de integração, como infinito ou pontos de descontinuidade. Para lidar com essas situações, são aplicadas técnicas específicas, como a limitação dos limites de integração e a avaliação de limites, a fim de determinar se a integral converge ou diverge. Sendo assim, veja a integral a seguir Considerando a integral apresentada, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. A integral apresentada é convergente. PORQUE II. Ao calcular essa integral, obtemos A respeito dessas asserções, assinale a opção correta: A As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. B A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira. C As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. D As asserções I e II são falsas. E A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa. Para resolver essa questão, considere que o valor médio de uma função, denominado Vmf, em um dado intervalo [a, b], a qual seja diferenciável neste intervalo, é dado por: Seja uma empresa que produz e vende kits de jardinagem urbana. Seus clientes recebem um kit completo com vasos, terra, sementes e ferramentas para cultivar ervas, vegetais e flores em pequenosespaços, como varandas e jardins verticais. O valor do custo de produção para uma certa quantidade de kits (x), é definido pela função C(x) = 0,08x³ - 0,9x² + 1,4x + 5. Assim, o valor médio do custo de produção, em de reais para um intervalo de 20 a 30 kits é: A R$ 770,00. B R$ 530,00. C R$ 630,00. 9 10 17/05/2024, 18:53 Avaliação II - Individual about:blank 5/6 D R$ 540,00. E R$ 810,00. Imprimir 17/05/2024, 18:53 Avaliação II - Individual about:blank 6/6