2. Resolva as seguintes equações: (a) dy/dx + 5y = 0 (b) dy/dx + 2xy = 0 (c) dy/dx - x^2y = 0 (d) y′ + 3x^2y = 0 (e) y′ − 3x^4y = 0 (f) y′ − ...

(a) dy/dx + 5y = 0 Resolução: dy/dx = -5y dy/y = -5dx Integrando ambos os lados: ln|y| = -5x + C y = Ce^(-5x) (b) dy/dx + 2xy = 0 Resolução: dy/dx = -2xy dy/y = -2xdx Integrando ambos os lados: ln|y| = -x^2 + C y = Ce^(-x^2) (c) dy/dx - x^2y = 0 Resolução: dy/dx = x^2y dy/y = x^2dx Integrando ambos os lados: ln|y| = (1/3)x^3 + C y = Ce^(x^3/3) (d) y′ + 3x^2y = 0 Resolução: y' = -3x^2y dy/y = -3x^2dx Integrando ambos os lados: ln|y| = -x^3 + C y = Ce^(-x^3) (e) y′ − 3x^4y = 0 Resolução: y' = 3x^4y dy/y = 3x^4dx Integrando ambos os lados: ln|y| = x^5 + C y = Ce^(x^5) (f) y′ − 7y = e^x Resolução: y' = 7y + e^x dy/(7y + e^x) = dx Integrando ambos os lados: ln|7y + e^x| = x + C 7y + e^x = Ce^x y = (C/e^x - 1)/7 (g) y′ − 7y = sen(2x) Resolução: y' = 7y + sen(2x) dy/(7y + sen(2x)) = dx Integrando ambos os lados: ln|7y + sen(2x)| = (cos(2x) - 1)/14 + C 7y + sen(2x) = Ce^((cos(2x) - 1)/14) y = (Ce^((cos(2x) - 1)/14) - sen(2x))/7 (h) y′ + 2xy = 2x^3, y(0) = 1 Resolução: y' = -2xy + 2x^3 dy/(y - x^2) = 2xdx Integrando ambos os lados: ln|y - x^2| = x^2 + C y - x^2 = Ce^(x^2) y = Ce^(x^2) + x^2 Usando a condição inicial y(0) = 1: 1 = C y = e^(x^2) + x^2 (i) y′ + 6xy = 0, y(π) = 5 Resolução: y' = -6xy dy/y = -6xdx Integrando ambos os lados: ln|y| = -3x^2 + C y = Ce^(-3x^2) Usando a condição inicial y(π) = 5: 5 = Ce^(-3π^2) C = 5e^(3π^2) y = 5e^(3π^2 - 3x^2) (j) y′ + 2y = 32, y(0) = 0 Resolução: y' = 32 - 2y dy/(y - 16) = -2dx Integrando ambos os lados: ln|y - 16| = -2x + C y - 16 = Ce^(-2x) y = Ce^(-2x) + 16 Usando a condição inicial y(0) = 0: 0 = C + 16 C = -16 y = -16e^(-2x) + 16 (k) y′ + y = 4 cos(2t), y(0) = 1 Resolução: y' = 4cos(2t) - y dy/(y - 4cos(2t)) = -dt Integrando ambos os lados: ln|y - 4cos(2t)| = -t + C y - 4cos(2t) = Ce^(-t) y = Ce^(-t) + 4cos(2t) Usando a condição inicial y(0) = 1: 1 = C + 4 C = -3 y = -3e^(-t) + 4cos(2t) (l) y′ + 2/x y = x, y(1) = 0 Resolução: y' = x - 2/x y dy/(y/x) = xdx Integrando ambos os lados: ln|y| = x^2 + C y = Cx^2 Usando a condição inicial y(1) = 0: 0 = C C = 0 y = 0