Calculando a integral de linha F. dr, em q C, é dada pela função vetorial f(t) = tỉ + 2 3 + t³k, com 0 ≤ t ≤ 2e F(x, y, z) = yzí + xzj + xyk, tem se?

Para calcular a integral de linha F.dr, precisamos primeiro encontrar a curva C. A curva C é dada pela função vetorial f(t) = t i + 2t³ j + t³ k, com 0 ≤ t ≤ 2. Para calcular a integral de linha, usamos a fórmula: ∫ F.dr = ∫ F(f(t)).f'(t) dt Onde F(f(t)) é a função vetorial F avaliada em f(t) e f'(t) é a derivada de f(t). Substituindo os valores, temos: F(f(t)) = (2t³)(t³) i + (t)(t³) j + (t)(2t³) k = 2t⁶ i + t⁴ j + 2t⁴ k f'(t) = i + 6t² j + 3t² k Então, temos: ∫ F.dr = ∫ F(f(t)).f'(t) dt = ∫ (2t⁶ i + t⁴ j + 2t⁴ k) . (i + 6t² j + 3t² k) dt = ∫ (2t⁶ + 6t⁴) dt Integrando, temos: ∫ (2t⁶ + 6t⁴) dt = 2/7 t⁷ + 2t⁵ + C Agora, avaliando a integral de 0 a 2, temos: ∫ F.dr = 2/7 (2)⁷ + 2(2)⁵ - 2/7 (0)⁷ - 2(0)⁵ = 512/7 Portanto, a integral de linha de F.dr ao longo da curva C é igual a 512/7.