O número de anagramas da palavra BITUCA, em que nem vogal, nem consoantes fiquem juntas é:

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio da Inclusão e Exclusão (PIE). Primeiro, vamos calcular o número total de anagramas da palavra BITUCA, que é dado por: 6! / (2! * 2!) = 180 Agora, vamos contar o número de anagramas em que pelo menos uma vogal e uma consoante ficam juntas. Podemos fazer isso considerando cada vogal como um bloco e cada consoante como outro bloco. Temos, então, 2 blocos: V (para as vogais) e C (para as consoantes). Podemos permutar esses blocos de 2 maneiras (VC ou CV) e, dentro de cada bloco, temos 2! maneiras de permutar as letras. Portanto, o número de anagramas em que pelo menos uma vogal e uma consoante ficam juntas é: 2 * 2! * 2! = 8 No entanto, contamos algumas palavras duas vezes, pois há anagramas em que duas vogais ou duas consoantes ficam juntas. Para corrigir isso, vamos subtrair o número de anagramas em que duas vogais ficam juntas e o número de anagramas em que duas consoantes ficam juntas. Para contar o número de anagramas em que duas vogais ficam juntas, podemos considerar cada par de vogais como um bloco e permutar esses blocos de 3 maneiras (VVC, VCV ou CVV). Dentro de cada bloco, temos 2! maneiras de permutar as letras. Portanto, o número de anagramas em que duas vogais ficam juntas é: 3 * 2! * 2! = 12 Da mesma forma, o número de anagramas em que duas consoantes ficam juntas é: 2 * 2! * 2! = 8 No entanto, contamos algumas palavras duas vezes, pois há anagramas em que duas vogais e duas consoantes ficam juntas. Para corrigir isso, vamos somar o número de anagramas em que duas vogais e duas consoantes ficam juntas. Podemos considerar cada par de vogais e cada par de consoantes como um bloco e permutar esses blocos de 2 maneiras (VVCC ou CCVV). Dentro de cada bloco, temos 2! maneiras de permutar as letras. Portanto, o número de anagramas em que duas vogais e duas consoantes ficam juntas é: 2 * 2! * 2! = 8 Assim, pelo PIE, o número de anagramas da palavra BITUCA em que nem vogal, nem consoantes ficam juntas é: 180 - 8 + 12 - 8 + 8 = 184