a) Reduza, por uma rotação dos eixos coordenados, a equação. 41x2 - 18xy + 41y2 - 384x - 384y + 1504 = 0 (b) Determine os focos, os vértices, o ce...

(a) Para reduzir a equação por uma rotação dos eixos coordenados, precisamos encontrar o ângulo de rotação que elimina o termo em xy. Para isso, usamos a fórmula: tg(2θ) = (2Axy) / (Axx - Ayy) Onde Axx, Ayy e Axy são os coeficientes das variáveis x², y² e xy, respectivamente. Substituindo os valores da equação dada, temos: tg(2θ) = (2*(-18)) / (41 - 41) = -2 Logo, temos: 2θ = arctg(-2) ≈ -63,43° θ ≈ -31,72° Agora, fazemos a rotação dos eixos coordenados em -31,72°, substituindo x e y por: x' = x*cos(-31,72°) - y*sin(-31,72°) y' = x*sin(-31,72°) + y*cos(-31,72°) Fazendo as substituições e simplificando, obtemos a equação reduzida: 25x'^2 + 16y'^2 - 384x' - 384y' + 1504 = 0 (b) Para encontrar os focos, vértices e centro da cônica, precisamos identificar o tipo de curva que a equação representa. Podemos fazer isso observando os coeficientes das variáveis x² e y²: 25x'^2 + 16y'^2 = 384x' + 384y' - 1504 Dividindo tudo por 384, temos: (25/384)x'^2 + (16/384)y'^2 = x' + y' - (1504/384) Simplificando, temos: (25/384)(x' - 8)^2 + (16/384)(y' - 12)^2 = 1 Comparando com a equação padrão de uma elipse: (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1 Podemos identificar que a cônica é uma elipse com centro (8, 12), semi-eixo maior a = √(384/25) e semi-eixo menor b = √(384/16). Para encontrar os focos, usamos a fórmula: c = √(a² - b²) F = (h ± c, k) Substituindo os valores, temos: c = √(384/25 - 384/16) ≈ 3,2 F1 = (8 + 3,2, 12) ≈ (11,2, 12) F2 = (8 - 3,2, 12) ≈ (4,8, 12) Os vértices são os pontos onde a elipse intercepta os eixos coordenados. Como o centro da elipse é (8, 12), os vértices são: V1 = (8 + a, 12) ≈ (15,2, 12) V2 = (8 - a, 12) ≈ (0,8, 12) V3 = (8, 12 + b) ≈ (8, 16) V4 = (8, 12 - b) ≈ (8, 8) (c) Para fazer o esboço da curva, podemos usar as informações dos focos, vértices e centro para desenhar a elipse. Além disso, podemos traçar os eixos coordenados e marcar os pontos onde a elipse intercepta cada um deles. O resultado deve ser uma figura simétrica em relação ao centro da elipse.