(a) Reduza, por uma rotação dos eixos coordenados, a equação. 41x2 - 18xy + 41y2 - 384x - 384y + 1504 = 0, à sua forma canônica. (b) Determine os f...

(a) Para reduzir a equação à sua forma canônica, precisamos encontrar o ângulo de rotação que elimina o termo cruzado xy. Para isso, usamos a fórmula: tg(2θ) = (2Axy) / (Axx - Ayy) Onde Axx, Ayy e Axy são os coeficientes das variáveis x², y² e xy, respectivamente. Substituindo os valores da equação dada, temos: tg(2θ) = (2*(-18)) / (41 - 41) = -1 Logo, θ = -π/8 ou 7π/8. Escolhemos θ = -π/8 para simplificar os cálculos. Fazendo a substituição: x = x'cos(-π/8) - y'sen(-π/8) y = x'sen(-π/8) + y'cos(-π/8) E substituindo na equação original, obtemos: 41x'^2 + 41y'^2 - 384√2(x' + y') + 1504 = 0 (b) Para encontrar os focos e vértices, precisamos primeiro identificar o tipo de cônica que a equação representa. Dividindo ambos os lados por 41, temos: x^2 - (18/41)xy + y^2 - (384/41)x - (384/41)y + (1504/41) = 0 Comparando com a equação geral da cônica: Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 Temos A = 1, B = -18/41 e C = 1, o que indica que se trata de uma elipse. Para encontrar os vértices, precisamos primeiro encontrar o centro da elipse, que é dado por: x0 = D/2A y0 = E/2C Substituindo os valores, temos: x0 = 384/41 y0 = 384/41 Os vértices são dados por (x0 ± a, y0), onde a é o semieixo maior da elipse. Para encontrar a, usamos a fórmula: a^2 = (h - k)^2 / (1 - e^2) Onde h e k são as coordenadas do centro da elipse e e é a excentricidade, dada por: e^2 = (a^2 - b^2) / a^2 Onde b é o semieixo menor da elipse. Substituindo os valores, temos: a^2 = 25 b^2 = 16 e^2 = 9/25 Portanto, a = 5 e b = 4. Substituindo na fórmula dos vértices, temos: V1 = (304/41, 384/41) V2 = (464/41, 384/41) Para encontrar os focos, usamos a fórmula: c^2 = a^2 - b^2 Onde c é a distância do centro da elipse a cada um dos focos. Substituindo os valores, temos: c^2 = 9 c = 3 Portanto, os focos são dados por (x0 ± c, y0), ou seja: F1 = (379/41, 384/41) F2 = (389/41, 384/41)