(a) Reduza, por uma rotação dos eixos coordenados, a equação. 41x2 - 18xy + 41y2 - 384x - 384y + 1504 = 0, à sua forma canônica. (b) Determine os f...

Essa pergunta é sobre cônicas e geometria analítica. Vou tentar ajudar com a resposta: (a) Para reduzir a equação à sua forma canônica, é necessário fazer uma rotação dos eixos coordenados. Para isso, é preciso encontrar o ângulo de rotação que zera o termo em xy. A fórmula para encontrar esse ângulo é dada por: tg(2θ) = (a - c) / b Onde a, b e c são os coeficientes da equação geral da cônica. Substituindo os valores, temos: tg(2θ) = (41 - 41) / (-18) = 0 Logo, θ = 0 ou π/2. Como a rotação deve ser feita no sentido anti-horário, escolhemos θ = π/2. A fórmula para a rotação é dada por: x = x' cosθ - y' sinθ y = x' sinθ + y' cosθ Substituindo os valores, temos: x = y' y = -x' Substituindo essas expressões na equação geral da cônica, temos: 41y'^2 + 384y' - 18xy' - 384x' + 41x'^2 + 1504 = 0 Para completar o quadrado, vamos agrupar os termos em x' e y': (41y'^2 - 18xy' + 41x'^2) + 384(y' - x') + 1504 = 0 Agora, vamos completar o quadrado para os termos em x' e y': (41(y' - 9/41x')^2 - 81/41x'^2) + 384(y' - x') + 1504 = 0 Simplificando, temos: 41(y' - 9/41x')^2 - 81/41x'^2 + 384(y' - x') + 1504 = 0 Essa é a forma canônica da cônica. (b) Para encontrar os focos, vértices e centro da cônica, é necessário identificar o tipo de cônica. A equação geral da cônica é dada por: Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 Se A e C tiverem o mesmo sinal e forem diferentes de zero, a cônica é uma elipse. Se A e C tiverem o mesmo sinal e forem iguais a zero, a cônica é uma parábola. Se A e C tiverem sinais opostos, a cônica é uma hipérbole. No caso da equação dada, A = 41, B = -18 e C = 41. Como A e C têm o mesmo sinal e são diferentes de zero, a cônica é uma elipse. Para encontrar os focos, é necessário calcular a distância entre o centro da elipse e os focos. A fórmula para a distância é dada por: c = sqrt(a^2 - b^2) Onde a e b são os semieixos maior e menor da elipse, respectivamente. A fórmula para os semieixos é dada por: a^2 = (x - h)^2 / cos^2θ + (y - k)^2 / sin^2θ b^2 = (x - h)^2 / sin^2θ + (y - k)^2 / cos^2θ Onde (h, k) é o centro da elipse. Substituindo os valores, temos: a^2 = (y' - 9/41x')^2 + (x')^2 b^2 = (y' - 9/41x')^2 + (x')^2 Como a = b = sqrt(41), temos: c = sqrt(a^2 - b^2) = 0 Isso significa que os focos estão no centro da elipse. Para encontrar os vértices, basta deslocar o centro da elipse em a e b unidades nas direções dos eixos x' e y', respectivamente. Temos: V1 = (9, 0) V2 = (-9, 0) V3 = (0, 4) V4 = (0, -4) O centro da elipse é (0, 0). (c) Para fazer um esboço da curva, basta plotar os vértices e traçar a elipse passando pelos pontos.