Calcule ∫∫SF.nds∫∫ onde F(x,y,z) = ( x,y,x2 z) e S é a superficie do cilindro (x- 1)2 + (y-1)2 = 1 entre os planos z = 0 e z = 4 com vetor normal a...

Para calcular a integral de superfície ∫∫SF.nds, onde F(x,y,z) = (x,y,x²z) e S é a superfície do cilindro (x-1)² + (y-1)² = 1 entre os planos z = 0 e z = 4 com vetor normal apontando para fora de S, podemos utilizar o Teorema de Gauss: ∫∫SF.nds = ∭EdivF.dv Onde E é o sólido delimitado pela superfície S e divF é a divergência do campo vetorial F. Calculando a divergência de F: divF = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z divF = 1 + 1 + 2xz Integrando a divergência sobre o sólido E delimitado pela superfície S: ∭EdivF.dv = ∫0²π∫0¹∫0⁴ (1 + 1 + 2xz) r dz dr dθ Resolvendo as integrais: ∫0²π∫0¹∫0⁴ (1 + 1 + 2xz) r dz dr dθ = 32π/3 Portanto, a integral de superfície ∫∫SF.nds é igual a 32π/3.