O gráfico da função real definida por y = x² + mx + ( 15-m ) tangencia o eixo das abscissas e corta o eixo das ordenadas no ponto (0,k). Se a absci...

Para encontrar o valor de k, precisamos usar as informações que temos sobre a parábola. Sabemos que ela tangencia o eixo das abscissas, o que significa que ela tem apenas uma raiz real. Além disso, sabemos que ela corta o eixo das ordenadas no ponto (0, k), o que significa que o valor de y é igual a k quando x é igual a zero. A fórmula para encontrar o vértice da parábola é dada por x = -b/2a e y = f(x), onde a, b e c são os coeficientes da equação da parábola y = ax² + bx + c. Neste caso, a = 1, b = m e c = 15 - m. Sabemos que a abscissa do vértice é negativa, o que significa que -b/2a é negativo. Portanto, m/2 é negativo, o que implica que m é negativo. Substituindo os valores conhecidos na equação do vértice, temos: x = -m/2 y = k = f(x) = x² + mx + (15 - m) Substituindo x = -m/2 na equação de y, temos: k = (-m/2)² + m(-m/2) + (15 - m) k = m²/4 - m²/2 + 15 - m k = -m²/4 + 15 - m Como a parábola tangencia o eixo das abscissas, ela tem apenas uma raiz real. Isso significa que o discriminante da equação é igual a zero: b² - 4ac = m² - 4(15 - m) = 0 m² - 60 + 4m = 0 m² + 4m - 60 = 0 (m + 10)(m - 6) = 0 Portanto, m = -10 ou m = 6. Como sabemos que m é negativo, temos m = -10. Substituindo m = -10 na equação de k, temos: k = -(-10)²/4 + 15 - (-10) k = 25 Portanto, a resposta correta é a letra A) 25.