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Com base nessas informações e no conteúdo estudado, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).

I. ( ) Se e .
II. ( ) Se é um número complexo, .
III. ( ) Para qualquer número inteiro , .
IV. ( ) Para todo número complexo , .
a) F, V, V, F
b) V, F, F, V
c) F, F, V, V
d) V, V, F, F
e) V, F, V, F

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ATIVIDADE 4 - CÁLCULO AVANÇADO COM NÚMEROS COMPLEXOS

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UAM

Respostas

Ed

há 2 anos

Analisando as afirmativas temos: I. (F) Se e . II. (V) Se é um número complexo, . III. (V) Para qualquer número inteiro , . IV. (F) Para todo número complexo , . Portanto, a alternativa correta é a letra "c": F, F, V, V.

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1) O módulo e o conjugado de um número complexo têm uma relação direta. Para todo número complexo é possível definir o seu módulo como . Para a função exponencial complexa, essa relação é dada da seguinte maneira: para todo Como obtém-se: Por fim, como , tem-se que:.

I. (V) Para quaisquer complexos ,
II. (V) Se são tais que e , .
III. (V) Para quaisquer complexos ,
IV. (V) Para quaisquer complexos ,
a) V, V, V, V
b) F, V, V, V
c) V, F, V, V
d) V, V, F, V
e) V, V, V, F

2) Leia o excerto a seguir:
“As funções hiperbólicas, seno e cosseno, são definidas, como no caso de variáveis reais, pelas seguintes expressões:
Como se vê, seus valores são reais para valores reais de . Elas surgem naturalmente quando se procura separar as partes real e imaginária das funções e .”
ÁVILA, G. Variáveis complexas e aplicações. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. p. 64.
Com base nessas informações, sobre as funções trigonométricas complexas, assinale a alternativa correta:

a) As funções seno e cosseno complexas são definidas pelas mesmas expressões que as funções seno e cosseno reais.
b) As funções seno e cosseno complexas não possuem valores reais.
c) As funções seno e cosseno complexas são definidas pelas expressões e , respectivamente.
d) As funções seno e cosseno complexas são definidas pelas expressões e , respectivamente.
e) As funções seno e cosseno complexas são definidas pelas expressões e , respectivamente.

3) Leia o excerto a seguir:
“Usando as equações de Cauchy-Riemann na forma polar, é fácil verificar que qualquer ramo do logaritmo é uma função analítica em seu domínio (do qual se exclui o raio que produz o corte, para que seu domínio seja um conjunto aberto). Vamos calcular sua derivada:
Substituindo os valores e [...], efetuando os cálculos e simplificando, obtemos:
”
ÁVILA, G. Variáveis complexas e aplicações. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. p. 67.
Com base no trecho apresentado anteriormente, sobre analiticidade da função logarítmica complexa e considerando como a função logarítmica complexa em seu ramo principal, ou seja, , analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).

I. (F) A função é analítica em toda parte, exceto no conjunto .
II. (V) A função é analítica em toda parte.
III. (F) A função é analítica no conjunto .
IV. (V) A função é analítica em qualquer aberto do plano complexo tal que .
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:

a) V, F, F, V
b) F, V, F, V
c) F, V, V, F
d) V, F, V, F
e) F, F, V, V

4) Leia o excerto a seguir:
“O módulo de um número complexo determina o tamanho do vetor resultante dessa transformação. Note que a função que determina o módulo de um número complexo tem sua imagem nos reais; e, por isso, é possível obter uma relação de ordem entre seus elementos.
Considerando o trecho apresentado, sobre o módulo da função exponencial, analise as afirmativas a seguir:

I. Para todo número complexo , .
II. Se e , .
III. Para , .
IV. Para a sequência definida por , .
Está correto apenas o que se afirma em:

I. (V)
II. (V)
III. (F)
IV. (F)
a) V, V, F, F
b) F, V, V, F
c) V, F, F, V
d) F, F, V, V
e) V, F, V, F

5) Leia o excerto a seguir:
“As derivadas de de podem ser usadas para mostrar que as derivadas de todas as funções trigonométricas complexas têm as mesmas expressões que as das correspondentes funções trigonométricas reais. [...] As funções seno e cosseno são inteiras, mas as funções tangente, cotangente, secante e cossecante são analíticas apenas nos pontos em que o denominador é não nulo.”
ZILL, D. G.; SHANAHAN, P. D. Curso introdutório à análise complexa com aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. p. 154.
Com base no trecho apresentado anteriormente, sobre derivadas e analiticidade de funções trigonométricas complexas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).

I. (V) .
II. (V) .
III. (F) .
IV. (F) .
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:

a) V, V, F, F
b) F, V, V, F
c) V, F, F, V
d) F, F, V, V
e) V, F, V, F

6) Leia o excerto a seguir:
“Seja aberto, uma função complexa. é holomorfa em se existe para todo ponto .
[...]
Observe que, [...] dizer que é holomorfa em é o mesmo que dizer que em todos os pontos de . Isso ‘esclarece’ a afirmativa [...] de que uma função é holomorfa quando não depende da variável .”
SOARES, M. G. Cálculo em uma variável complexa. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009. p. 46-47.
Considerando o trecho apresentado, sobre a analiticidade da função exponencial complexa, analise as afirmativas a seguir:

I. Se é uma função holomorfa em , então é uma função analítica em .
II. Se é uma função analítica em , então é uma função holomorfa em .
III. A função exponencial complexa é analítica em todo o plano complexo.
IV. A função exponencial complexa é holomorfa em todo o plano complexo.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:

a) V, V, F, F
b) F, V, V, F
c) V, F, F, V
d) F, F, V, V
e) V, F, V, F

Considerando o trecho apresentado, sobre as propriedades algébricas da função exponencial, analise as afirmativas a seguir:

I. e para .
II.
III.
IV. existe um complexo tal que
a) Apenas I e II estão corretas.
b) Apenas II e III estão corretas.
c) Apenas III e IV estão corretas.
d) Apenas I e IV estão corretas.
e) Todas as afirmativas estão corretas.

Com base no trecho apresentado anteriormente, sobre as propriedades da função exponencial complexa, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).

I. ( ) A função exponencial complexa não pode resultar em número negativo.
II. ( ) A imagem da função exponencial complexa é o plano complexo ℂ.
III. ( ) Para todo é correto afirmar que
IV. ( ) Para todo número complexo , se e somente se .
a) V, V, F, F
b) F, V, F, V
c) V, F, V, F
d) F, F, V, V
e) V, V, V, V

Considerando o trecho apresentado, sobre a definição de funções trigonométricas complexas, analise as afirmativas a seguir:

I. Se são complexos quaisquer, tais que , ao menos um dos números e é um múltiplo inteiro de
II. Se é um polinômio complexo, para qualquer .
III. As raízes da equação são os números complexos e , para todo .
IV. se e somente se pertencer ao conjunto . Ainda, em todo plano complexo.
a) Apenas I e II estão corretas.
b) Apenas II e III estão corretas.
c) Apenas III e IV estão corretas.
d) Apenas I e IV estão corretas.
e) Todas as afirmativas estão corretas.