Questão resolvida - Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y)raiz(xy) - Cálculo II - derivadas parciais

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função 
 
f x, y =( ) x² + y²
 
Resolução:
Vamos determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem de , ou seja, f x, y( )
, , e .f =xx
𝜕 f
𝜕x
2
2
f =xy
𝜕 f
𝜕x𝜕y
2
f =yy
𝜕 f
𝜕y
2
2
f =yx
𝜕 f
𝜕y𝜕x
2
 
Inicialmente, reescrevemos , como: f x, y( ) f x, y = = x² + y²( ) x² + y² ( )
1
2
 
Para chegar nas derivadas de segunda ordem, primeiro, fazemos as derivadas de primeira 
ordem;
 
Derivada de primeira ordem:
 
f = = x² + y² ⋅ 2x = x² + y² = x x² + y²x
𝜕f
𝜕x
1
2
( )
-1
1
2 2x
2
( )
1 - 2
2 ( )
1 - 2
2
= x x² + y² =
𝜕f
𝜕x
( )
-1
2
x
x² + y²( )
1
2
 
Agora, é possível encontrar as derivadas de segunda ordem: f = e f =xx
𝜕 f
𝜕x
2
2 xy
𝜕 f
𝜕x𝜕y
2
 
f = = =xx
𝜕 f
𝜕x
2
2
1 ⋅ x² + y² - x² + y² ⋅ 2x ⋅ x
x² + y²
( )
1
2 1
2
( )
-1
1
2
( )
1
2
2
x² + y² - x² + y²
x² + y²
( )
1
2 2x
2
2
( )
1 - 2
2
( )
2
2
 
= = =
x² + y² - x x² + y²
x² + y²
( )
1
2 2( )
-1
2
( )1
x² + y² -
x² + y²
( )
1
2
x
x²+y²
2
( )
1
2
x² + y²
x²+y² ⋅ x²+y² -x
x²+y²
( )
1
2 ( )
1
2 2
( )
1
2
 
 
 
= ⋅ = = =
x² + y² - x
x² + y²
( )
1
2
2
2
( )
1
2
1
x² + y²
x² + y² - x
x² + y² ⋅ x² + y²
( )
2
2 2
( )
1
2 ( )
x² + y² - x
x² + y²
( )1 2
( )
+1
1
2
x² + y² - x
x² + y²
2
( )
1 + 2
2
 
 
f = =xx
𝜕 f
𝜕x
2
2
y²
x² + y²( )
3
2
 
 
f = = =xy
𝜕 f
𝜕x𝜕y
2 0 ⋅ x² + y² - x² + y² ⋅ 2y ⋅ x
x² + y²
( )
1
2
1
2
( )
-1
1
2
( )
1
2
2
0 - x² + y²
x² + y²
2yx
2
( )
1 - 2
2
( )
2
2
 
= = =
-yx x² + y²
x² + y²
( )
-1
2
( )1
-
x² + y²
yx
x²+y²( )
1
2
-
x² + y²
yx
x²+y²( )
1
2
 
= - ⋅ = - = - = -
yx
x² + y²( )
1
2
1
x² + y²
yx
x² + y² ⋅ x² + y²( )
1
2 ( )
yx
x² + y²( )
+1
1
2
yx
x² + y²( )
1 + 2
2
 
 
f = = -xy
𝜕 f
𝜕x𝜕y
2 yx
x² + y²( )
3
2
 
 
Derivada de primeira ordem:
 
f = = x² + y² ⋅ 2y = x² + y² = y x² + y²y
𝜕f
𝜕x
1
2
( )
-1
1
2 2y
2
( )
1 - 2
2 ( )
1 - 2
2
 
 
(Resposta - fxx)
(Resposta - fxy)
= y x² + y² =
𝜕f
𝜕x
( )
-1
2
y
x² + y²( )
1
2
 
f = = =yy
𝜕 f
𝜕y
2
2
1 ⋅ x² + y² - x² + y² ⋅ 2y ⋅ y
x² + y²
( )
1
2 1
2
( )
-1
1
2
( )
1
2
2
x² + y² - x² + y²
x² + y²
( )
1
2 2y
2
2
( )
1 - 2
2
( )
2
2
 
= = =
x² + y² - y x² + y²
x² + y²
( )
1
2 2( )
-1
2
( )1
x² + y² -
x² + y²
( )
1
2
y
x²+y²
2
( )
1
2
x² + y²
x²+y² ⋅ x²+y² -y
x²+y²
( )
1
2 ( )
1
2 2
( )
1
2
 
= ⋅ = = =
x² + y² - y
x² + y²
( )
1
2
2
2
( )
1
2
1
x² + y²
x² + y² - y
x² + y² ⋅ x² + y²
( )
2
2 2
( )
1
2 ( )
x² + y² - y
x² + y²
( )1 2
( )
+1
1
2
x² + y² - y
x² + y²
2
( )
1 + 2
2
 
 
f = =yy
𝜕 f
𝜕y
2
2
x²
x² + y²( )
3
2
 
 
f = = =xy
𝜕 f
𝜕y𝜕x
2 0 ⋅ x² + y² - x² + y² ⋅ 2x ⋅ y
x² + y²
( )
1
2 1
2
( )
-1
1
2
( )
1
2
2
0 - x² + y²
x² + y²
2xy
2
( )
1 - 2
2
( )
2
2
 
= = =
-xy x² + y²
x² + y²
( )
-1
2
( )1
-
x² + y²
xy
x²+y²( )
1
2
-
x² + y²
xy
x²+y²( )
1
2
 
 
 
(Resposta - fyy)
= - ⋅ = - = - = -
xy
x² + y²( )
1
2
1
x² + y²
xy
x² + y² ⋅ x² + y²( )
1
2 ( )
xy
x² + y²( )
+1
1
2
xy
x² + y²( )
1 + 2
2
 
 
f = = -xy
𝜕 f
𝜕y𝜕x
2 xy
x² + y²( )
3
2
 
 
(Resposta - fyx)