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(a) Para mostrar que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), precisamos mostrar que todo elemento em A ∩ (B ∪ C) também está em (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e vice-versa. Começando com o lado esquerdo, se x está em A ∩ (B ∪ C), então x está em A e x está em B ∪ C. Isso significa que x está em A e x está em B ou x está em A e x está em C. Em outras palavras, x está em (A ∩ B) ou x está em (A ∩ C). Portanto, x está em (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Agora, para o lado direito, se x está em (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), então x está em (A ∩ B) ou x está em (A ∩ C). Se x está em (A ∩ B), então x está em A e x está em B. Como B está contido em B ∪ C, x está em B ∪ C. Isso significa que x está em A ∩ (B ∪ C). Se x está em (A ∩ C), então x está em A e x está em C. Como C está contido em B ∪ C, x está em B ∪ C. Isso significa que x está em A ∩ (B ∪ C). Portanto, todo elemento em (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) também está em A ∩ (B ∪ C). Assim, mostramos que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) para quaisquer conjuntos A, B e C. (b) Para mostrar que A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), precisamos mostrar que todo elemento em A ∪ (B ∩ C) também está em (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) e vice-versa. Começando com o lado esquerdo, se x está em A ∪ (B ∩ C), então x está em A ou x está em B ∩ C. Se x está em A, então x está em A ∪ B e x está em A ∪ C. Isso significa que x está em (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Se x está em B ∩ C, então x está em B e x está em C. Como B está contido em A ∪ B e C está contido em A ∪ C, x está em (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Portanto, todo elemento em A ∪ (B ∩ C) também está em (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Agora, para o lado direito, se x está em (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), então x está em A ∪ B e x está em A ∪ C. Isso significa que x está em A ou x está em B e x está em A ou x está em C. Em outras palavras, x está em A ∪ (B ∩ C). Portanto, todo elemento em (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) também está em A ∪ (B ∩ C). Assim, mostramos que A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) para quaisquer conjuntos A, B e C.
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