Exercício 19. Considere sequencias de inteiros positivos {an} e {bn} definidas recursivamente tomando a1 = b1 = 1 e igualando as partes racionais e...

Para resolver este exercício, podemos utilizar o método de indução matemática. Primeiro, vamos mostrar que a2 - 2b2 = 1. Temos: a2 + b2√2 = (a1 + b1√2)² a2 + 2b2√2 + 2ab√2 = a1² + 2a1b1√2 + 2b1² a2 + 2b2√2 + 2ab√2 = 1 + 2√2 (a2 + 2b2) + (2ab)√2 = 1 + 2√2 Logo, a2 + 2b2 = 1 e 2ab = 2, o que implica em b2 = 2a - a2. Substituindo na primeira equação, temos: a2 - 2(2a - a2) = 1 a2 - 4a + 2a2 = 1 a2 - 4a + 1 = 0 (a - 1)² = 2b² a - 1 = ±b√2 a/b = 1/2 ± 1/2√2 Agora, vamos supor que a2n-2 - 2b2n-2 = 1. Temos: an + bn√2 = (an-1 + bn-1√2)² an + 2bn√2 + 2abn = an-1² + 2an-1bn-1√2 + 2b²n-1 an + 2bn√2 + 2abn = an-1² + 2b²n-1 + 2an-1bn-1√2 (an + 2bn) + (2abn)√2 = (an-1 + 2b√2)n-1 Logo, an + 2bn = an-1 + 2b√2n-1 e 2abn = 2b²n-1 + 2an-1bn-1√2. Substituindo b²n-1 = 2an-1 - a2n-2, temos: an + 2bn = an-1 + 2b√2n-1 2abn = 4an-1 - 2a2n-2 - 2an-1b²n-1 2abn = 4an-1 - 2a2n-2 - 2an-1(2an-1 - a2n-2) 2abn = 2a2n-2 + 2an-1² - 2an-1a2n-2 2abn = 2(a2n-2 - 2b2n-2) + 2an-1² 2abn = 2an-1² - 2b2n-2 + 1 a2n - 2b2n = 1 Portanto, a2n - 2b2n = 1 para n ≥ 2. Além disso, temos que a/b → √2 por valores maiores que √2 e 2b/a → √2 por valores menores que √2.