Exercício 21. Prove que a convergência de uma sequência de números reais {sn} implica a convergência da sequência {|sn|}. A recíproca é verdadeira?...

Para provar que a convergência de uma sequência de números reais {sn} implica a convergência da sequência {|sn|}, podemos usar a desigualdade triangular. Se {sn} converge para s, então para qualquer ε > 0, existe um número natural N tal que |sn - s| < ε para todo n ≥ N. Usando a desigualdade triangular, temos que ||sn| - |s|| ≤ |sn - s|. Portanto, para qualquer ε > 0, existe um número natural N tal que ||sn| - |s|| < ε para todo n ≥ N. Isso significa que a sequência {|sn|} converge para |s|. No entanto, a recíproca não é verdadeira. Um exemplo disso é a sequência {(-1)^n}, que não converge, mas a sequência {|(-1)^n|} converge para 1.