Exercício 25. Mostre que uma série de termos não-negativos converge se e somente se a sequência das somas parciais é limitada. Uma série de termos...

Para mostrar que uma série de termos não-negativos converge se e somente se a sequência das somas parciais é limitada, podemos utilizar o critério de Cauchy para séries. Seja S_n a soma dos n primeiros termos da série. Então, para m > n, temos que: S_m - S_n = a_(n+1) + a_(n+2) + ... + a_m Como todos os termos são não-negativos, temos que S_m - S_n >= a_(n+1), ou seja, a sequência das somas parciais é crescente. Agora, suponha que a série converge. Então, dado epsilon > 0, existe um número natural N tal que, para n > m >= N, temos que: |S_n - S_m| = |a_(m+1) + a_(m+2) + ... + a_n| < epsilon Isso implica que a sequência das somas parciais é de Cauchy, ou seja, para qualquer epsilon > 0, existe um número natural N tal que, para n > m >= N, temos que: |S_n - S_m| < epsilon Portanto, a sequência das somas parciais é limitada. Por outro lado, se a sequência das somas parciais é limitada, então ela é de Cauchy. Isso implica que a série converge, pois a sequência dos termos é não-negativa e a soma parcial S_n é limitada. Assim, concluímos que uma série de termos não-negativos converge se e somente se a sequência das somas parciais é limitada.