Seja G um grupo multiplicativo e seja a um elemento de G. Prove que o conjunto N(a) = {x ∈ G / ax = xa} é um subgrupo de G. Provar que N(a) é um ...

Para provar que N(a) é um subgrupo de G, precisamos verificar as três propriedades de um subgrupo: 1. N(a) é não vazio: Como a pertence a G, então a.a = a.a, ou seja, a pertence a N(a), logo N(a) é não vazio. 2. N(a) é fechado sob multiplicação: Sejam x e y elementos de N(a). Então, temos que ax = xa e ay = ya. Queremos mostrar que xy também pertence a N(a), ou seja, que a(xy) = (xy)a. Temos: a(xy) = a(xa)y (associatividade da multiplicação) a(xy) = (ax)a(y) (associatividade da multiplicação) a(xy) = (xa)a(y) (porque x e y pertencem a N(a)) a(xy) = x(ay) (associatividade da multiplicação) a(xy) = x(ya) (porque x e y pertencem a N(a)) a(xy) = (xy)a Portanto, xy pertence a N(a), e assim N(a) é fechado sob multiplicação. 3. N(a) é fechado sob inversão: Seja x um elemento de N(a). Queremos mostrar que x^(-1) também pertence a N(a), ou seja, que a(x^(-1)) = (x^(-1))a. Temos: a(x^(-1)) = a(xx^(-1)) (identidade multiplicativa) a(x^(-1)) = (ax)x^(-1) (associatividade da multiplicação) a(x^(-1)) = (xa)x^(-1) (porque x pertence a N(a)) a(x^(-1)) = x(ax^(-1)) (associatividade da multiplicação) a(x^(-1)) = x(x^(-1)a) (porque x pertence a N(a)) a(x^(-1)) = (x^(-1))a Portanto, x^(-1) pertence a N(a), e assim N(a) é fechado sob inversão. Como N(a) satisfaz as três propriedades de um subgrupo, concluímos que N(a) é um subgrupo de G.