Mostre que todo subgrupo H 6= {e} de um grupo ćıclico inifinito é também infinito. Provar que todo subgrupo H ≠ {e} de um grupo cíclico infinit...

Seja G um grupo cíclico infinito e H um subgrupo não trivial de G. Como G é cíclico, existe um elemento g em G tal que g gera G. Como H é um subgrupo de G, então H também é gerado por g elevado a um inteiro positivo n, ou seja, H = {g^n : n é um inteiro}. Suponha por contradição que H é finito. Então, existe um inteiro positivo m tal que g^m é o elemento neutro de H. Mas isso implica que m é um múltiplo do menor inteiro positivo n tal que g^n é o elemento neutro de G. Como G é infinito, tal n não pode existir, o que é uma contradição. Portanto, H deve ser infinito.