Quando dividimos um polinômio P(x) por (x - 1) obtemos resto 1 e quando dividimos P(x) por (x + 1) obtemos resto -5 . Desta forma, quando dividimos...

Podemos utilizar o Teorema do Resto para resolver essa questão. Quando dividimos um polinômio P(x) por (x - 1) e obtemos resto 1, podemos escrever: P(x) = Q1(x) * (x - 1) + 1 Da mesma forma, quando dividimos P(x) por (x + 1) e obtemos resto -5, podemos escrever: P(x) = Q2(x) * (x + 1) - 5 Agora, vamos dividir P(x) por (x² - 1): P(x) = Q(x) * (x² - 1) + R Onde R é o resto que queremos encontrar. Podemos reescrever (x² - 1) como (x - 1) * (x + 1): P(x) = Q(x) * (x - 1) * (x + 1) + R Substituindo as expressões que encontramos para P(x) nas divisões anteriores, temos: Q1(x) * (x - 1) + 1 = Q(x) * (x - 1) * (x + 1) + R Q2(x) * (x + 1) - 5 = Q(x) * (x - 1) * (x + 1) + R Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar o valor de R. Começamos somando as duas equações: Q1(x) * (x - 1) + Q2(x) * (x + 1) - 4 = Q(x) * (x - 1) * (x + 1) + R + R Simplificando, temos: Q1(x) * (x - 1) + Q2(x) * (x + 1) - 4 = Q(x) * (x² - 1) + 2R Agora, substituímos as expressões que encontramos para Q1(x) e Q2(x): Q(x) * (x - 1) * (x + 1) + 1 + Q(x) * (x + 1) - 5 - 4 = Q(x) * (x² - 1) + 2R Simplificando novamente, temos: Q(x) * (x² - 1) - 8 = Q(x) * (x² - 1) + 2R Logo, temos: 2R = -8 R = -4 Portanto, o resto da divisão de P(x) por (x² - 1) é -4. A alternativa correta é a letra E) 5.