Encontre a solução da equação diferencial não homogênea utilizando o método dos coeficientes a determinar d²y/dx² + 10 dy/dx + 25 y = e²x

Para resolver essa equação diferencial não homogênea, podemos utilizar o método dos coeficientes a determinar. Primeiramente, encontramos a solução da equação homogênea associada: d²y/dx² + 10 dy/dx + 25 y = 0 A equação característica correspondente é: r² + 10r + 25 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos que r = -5 (raiz dupla). Portanto, a solução da equação homogênea é: y_h(x) = (c1 + c2 x) e^(-5x) Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea. Como o termo não homogêneo é e^2x, podemos assumir que a solução particular tem a forma: y_p(x) = A e^(2x) Substituindo essa solução na equação diferencial, temos: 4A e^(2x) + 20A e^(2x) + 25A e^(2x) = e^(2x) Simplificando, temos: 49A e^(2x) = e^(2x) Portanto, A = 1/49. Assim, a solução geral da equação diferencial não homogênea é: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = (c1 + c2 x) e^(-5x) + (1/49) e^(2x)