40) (Mack-2002) O número de filas diferentes que podem ser formadas com 2 homens e 3 mulheres, de modo que os homens não fiquem juntos, é: a) 96 ...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio da Inclusão e Exclusão (PIE). Primeiro, vamos calcular o número total de filas que podem ser formadas com 2 homens e 3 mulheres, sem restrições. Podemos fazer isso usando o princípio multiplicativo: 2! x 3! = 2 x 6 = 12 Agora, vamos calcular o número de filas em que os homens ficam juntos. Podemos considerar os homens como um bloco e permutar esse bloco com as mulheres. Isso pode ser feito de 3 maneiras (HM, MH e HMH), e dentro de cada uma dessas maneiras, podemos permutar os homens e as mulheres de várias maneiras. Por exemplo, na primeira maneira (HM), podemos permutar os homens de 2 maneiras e as mulheres de 3 maneiras, resultando em 2! x 3! = 12 filas. Portanto, o número total de filas em que os homens ficam juntos é: 3 x 2! x 3! = 3 x 12 = 36 No entanto, essa contagem inclui algumas filas em que os homens ficam juntos e em que um homem está à esquerda de uma mulher e o outro homem está à direita da mesma mulher. Essas filas devem ser subtraídas da contagem. Existem 2 maneiras de escolher a mulher do meio e 2 maneiras de permutar os homens em relação a essa mulher. As outras 2 mulheres podem ser permutadas de 2! maneiras. Portanto, o número de filas em que os homens ficam juntos e em que um homem está à esquerda de uma mulher e o outro homem está à direita da mesma mulher é: 2 x 2! x 2! = 8 Assim, pelo PIE, o número de filas diferentes que podem ser formadas com 2 homens e 3 mulheres, de modo que os homens não fiquem juntos, é: 12 - 36 + 8 = 12 - 28 = 84 Portanto, a alternativa correta é a letra D) 84.