A circle contained in the 1st quadrant is tangent to the y-axis and the line of equation xy/4 = 3/2. If the center of this circle belongs to the li...

A equação da reta é xy/4 = 3/2, ou seja, y = 6/x. Como o centro do círculo pertence a essa reta, podemos escrever suas coordenadas como (x, 6/x). Seja (a, b) o ponto de tangência do círculo com a reta xy/4 = 3/2. Como o círculo é tangente à reta, a reta que passa pelos pontos (a, b) e (0, 3/2) é perpendicular à reta xy/4 = 3/2. Como a reta xy/4 = 3/2 tem coeficiente angular -6/x^2, a reta perpendicular tem coeficiente angular x/6. Assim, sua equação é y = x/6 + c, onde c é uma constante que pode ser determinada substituindo as coordenadas do ponto (a, b). Temos: b = a/6 + c Além disso, o ponto (a, b) pertence ao círculo, cujo centro é (x, 6/x). Portanto, a distância entre esses pontos é igual ao raio do círculo. Temos: (a - x)^2 + (b - 6/x)^2 = (6/x)^2 Substituindo b por a/6 + c, temos: (a - x)^2 + (a/6 + c - 6/x)^2 = 36/x^2 Como o círculo é tangente ao eixo y, sua equação é da forma x^2 + (y - r)^2 = r^2, onde r é o raio do círculo. Como o círculo é tangente à reta xy/4 = 3/2, temos que o ponto de tangência tem coordenada y = 3/2. Portanto, o raio do círculo é igual a 6/x. Substituindo r por 6/x na equação do círculo, temos: x^2 + (y - 6/x)^2 = 36/x^2 Substituindo y por x/6 + c, temos: x^2 + (x/6 + c - 6/x)^2 = 36/x^2 Expandindo o quadrado e simplificando, temos: x^4 - 36x^2 + 216c^2 = 0 Resolvendo essa equação do 4º grau, encontramos duas soluções positivas para x: x = 6 ou x = 6√3. Como o círculo está contido no primeiro quadrante, temos x > 0 e, portanto, x = 6. Substituindo x por 6 na equação do círculo, temos: y^2 - 4y + 9 = 0 Resolvendo essa equação do 2º grau, encontramos duas soluções para y: y = 1 ± 2√2. Como o círculo está contido no primeiro quadrante, temos y > 0 e, portanto, y = 1 + 2√2. Assim, as coordenadas do ponto de tangência são (6, 1 + 2√2) e as coordenadas do centro do círculo são (6, 2√2). A equação da reta que passa pelos pontos (6, 1 + 2√2) e (0, 0) é y = (1 + 2√2)/6 x. Portanto, a alternativa correta é a letra B) 0 = 2 - yx.