A circunferência que passa pelos pontos O=(0,0), A=(2,0) e B=(0,3) tem raio igual a: a) (Ë11)/4 b) (Ë11)/2 c) (Ë13)/4 d) (Ë13)/2 e) (Ë17)/4

Para encontrar o raio da circunferência que passa pelos pontos O=(0,0), A=(2,0) e B=(0,3), podemos utilizar a equação geral da circunferência: (x - a)² + (y - b)² = r² Onde (a,b) é o centro da circunferência e r é o raio. Substituindo os pontos O=(0,0), A=(2,0) e B=(0,3), temos: (0 - a)² + (0 - b)² = r² (2 - a)² + (0 - b)² = r² (0 - a)² + (3 - b)² = r² Expandindo as equações, temos: a² + b² = r² (a - 2)² + b² = r² a² + (b - 3)² = r² Subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira, temos: (a - 2)² - a² = b² - b² + (b - 3)² - b² a² - 4a + 4 = 9 - 6b + b² a² - 4a + 4 + 6b - b² - 9 = 0 a² - 4a - b² + 6b - 5 = 0 Podemos utilizar a primeira equação para isolar b²: b² = r² - a² Substituindo na equação anterior, temos: a² - 4a - (r² - a²) + 6b - 5 = 0 -2a² - 4a + 6b - r² - 5 = 0 6b = 2a² + 4a - r² + 5 b = (1/3)a² + (2/3)a - (1/2)r² + (5/6) Substituindo na primeira equação, temos: a² + [(1/3)a² + (2/3)a - (1/2)r² + (5/6)]² = r² Simplificando a equação, temos: (10/9)a⁴ - (8/3)r²a² + (25/36)r⁴ - (4/3)a³ + (5/3)r²a - (1/2)r⁴ + (25/18)a² - (5/3)r² = 0 Essa equação é uma equação do quarto grau em relação a r². Para resolvê-la, podemos utilizar o método de substituição de variáveis: x = r² x² = r⁴ Substituindo na equação, temos: (10/9)a⁴ - (8/3)x a² + (25/36)x² - (4/3)a³ + (5/3)x a - (1/2)x² + (25/18)a² - (5/3)x = 0 Multiplicando toda a equação por 9, temos: 10a⁴ - 24xa² + 25x² - 12a³ + 15xa - 18x² + 50a² - 30x = 0 Simplificando, temos: 10a⁴ - 12a³ + 50a² - 24xa + 15xa - 18x² + 25x² - 30x = 0 10a⁴ - 12a³ + 50a² - 9xa - 18x² + 25x² - 30x = 0 10a⁴ - 12a³ + 50a² - 9xa + 7x² - 30x = 0 Podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar x: x = [9a - 7(Ë10)/2] / 14 ou x = [9a + 7(Ë10)/2] / 14 Como o raio é positivo, devemos escolher a primeira raiz: x = [9a - 7(Ë10)/2] / 14 Substituindo x por r², temos: r² = [9a - 7(Ë10)/2] / 14 Simplificando, temos: r² = (9a - 7(Ë10)) / 28 Substituindo os valores de a = 2 e a = 3 na equação, temos: Para a = 2: r² = (9(2) - 7(Ë10)) / 28 r² = (18 - 7(Ë10)) / 28 r² = (9 - 7(Ë10)) / 14 r = (Ë[9 - 7(Ë10)]) / 2 r = (Ë11) / 2 Para a = 3: r² = (9(3) - 7(Ë10)) / 28 r² = (27 - 7(Ë10)) / 28 r = (Ë[27 - 7(Ë10)]) / 2 r = (Ë13) / 2 Portanto, a alternativa correta é a letra d) (Ë13)/2.