Considere as matrizes A =
(
2 3
1 5
)
e B =
(
3 6
2 1
)
. Seja XT a transposta da matriz X.
Sabendo que XTA−1 = B então X−1 é
(A) − 1
7
(
−12 5
39 −11
)
(B) − 1
63
(
11 −5
−39 12
)
(C) − 1
63
(
12 −39
−5 11
)
(D) − 1
63
(
−12 5
39 −11
)
(E) − 1
63
(
11 39
−5 12
)
A) − 1
7
(
−12 5
39 −11
)
B) − 1
63
(
11 −5
−39 12
)
C) − 1
63
(
12 −39
−5 11
)
D) − 1
63
(
−12 5
39 −11
)
E) − 1
63
(
11 39
−5 12
)
Respostas
Ed 
há 11 meses
Para resolver a questão, precisamos encontrar a matriz inversa de A e, em seguida, usar a relação dada \( X^T A^{-1} = B \) para determinar \( X^{-1} \). Primeiro, vamos calcular a matriz inversa de A: A = \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \] A fórmula para a matriz inversa de uma matriz 2x2 \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) é: \[ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] Calculando o determinante de A: \[ ad - bc = (2)(5) - (3)(1) = 10 - 3 = 7 \] Agora, aplicando a fórmula da inversa: \[ A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{7} & -\frac{3}{7} \\ -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix} \] Agora, substituímos \( A^{-1} \) na equação \( X^T A^{-1} = B \): \[ X^T \begin{pmatrix} \frac{5}{7} & -\frac{3}{7} \\ -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix} = B \] Para encontrar \( X \), precisamos multiplicar ambos os lados pela inversa de \( A^{-1} \) (que é \( A \)): \[ X^T = B A \] Agora, precisamos calcular \( B A \): B = \[ \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \] Multiplicando B por A: \[ B A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3*2 + 6*1 & 3*3 + 6*5 \\ 2*2 + 1*1 & 2*3 + 1*5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + 6 & 9 + 30 \\ 4 + 1 & 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 39 \\ 5 & 11 \end{pmatrix} \] Assim, temos \( X^T = \begin{pmatrix} 12 & 39 \\ 5 & 11 \end{pmatrix} \). Portanto, \( X = \begin{pmatrix} 12 & 5 \\ 39 & 11 \end{pmatrix} \). Agora, para encontrar \( X^{-1} \), usamos a fórmula da inversa novamente: \[ X^{-1} = \frac{1}{(12)(11) - (39)(5)} \begin{pmatrix} 11 & -5 \\ -39 & 12 \end{pmatrix} \] Calculando o determinante: \[ (12)(11) - (39)(5) = 132 - 195 = -63 \] Portanto: \[ X^{-1} = \frac{1}{-63} \begin{pmatrix} 11 & -5 \\ -39 & 12 \end{pmatrix} = -\frac{1}{63} \begin{pmatrix} 11 & -5 \\ -39 & 12 \end{pmatrix} \] Assim, a matriz inversa de \( X \) é: \[ X^{-1} = -\frac{1}{63} \begin{pmatrix} 11 & -5 \\ -39 & 12 \end{pmatrix} \] A alternativa correta é a letra B: B) \( -\frac{1}{63} \begin{pmatrix} 11 & -5 \\ -39 & 12 \end{pmatrix} \)
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Ed
há 2 anos
Para encontrar X^-1, precisamos primeiro encontrar X. Podemos fazer isso multiplicando ambos os lados da equação XTA^-1 = B por A^-1 à esquerda: XTA^-1A^-1 = BA^-1 XT = BA^-1 Agora, podemos encontrar X transpondo ambos os lados da equação: (XT)T = (BA^-1)T X = (A^-1)TB^T Finalmente, podemos encontrar X^-1 invertendo a matriz X: X^-1 = (X)^-1 X^-1 = ((A^-1)TB^T)^-1 A resposta correta é a letra C) -1/63 ( 12 -39 / -5 11 ).
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2ª QUESTÃO Valor: 0,25
Seja f(x) uma função definida em R tal que f(1) = 1. Para todo x ∈ R valem as seguintes
desigualdades
f(x+ 7) ⩾ f(x) + 7 e f(x+ 1) ⩽ f(x) + 1 .
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(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 2022 (E) 2023
A) 0
B) 1
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3ª QUESTÃO Valor: 0,25
Considere os conjuntos de números complexos:
A = {x+ iy tal que x,y ∈ R e |x|+ |y| ≤ r} e
B = {x+ iy tal que x,y ∈ R e max {|x− a|,|y − b|} ≤ c} ,
onde r, a, b e c são números reais positivos e max {x1,x2} é o maior valor entre os reais x1 e x2.
O menor valor de r, em função de a, b e c, para que se tenha B ⊂ A é
(A) a+ b+ c
(B) (a+ b)
√
2 + c
(C) 2(a+ b) + c
(D) a+ b+ 2c
(E) 2(a+ b+ c)
A) a+ b+ c
B) (a+ b)
√
2 + c
C) 2(a+ b) + c
D) a+ b+ 2c
E) 2(a+ b+ c)
4ª QUESTÃO Valor: 0,25
A equação arctg(z) + arctg(z + 1) = arctg
(
4
3
)
, em que arctg(x) é o arco tangente de x,
apresenta:
(A) duas soluções reais sendo uma positiva e outra negativa.
(B) duas soluções reais positivas.
(C) duas soluções reais negativas.
(D) uma única solução real, sendo esta positiva.
(E) uma única solução real, sendo esta negativa.
A) duas soluções reais sendo uma positiva e outra negativa.
B) duas soluções reais positivas.
C) duas soluções reais negativas.
D) uma única solução real, sendo esta positiva.
E) uma única solução real, sendo esta negativa.
6ª QUESTÃO Valor: 0,25
Seja um tetraedro de vértices A, B, C e D. São dados os ângulos em radianos:
AD̂B =
π
3
e CD̂B = AD̂C =
π
2
e os comprimentos das arestas em centímetros CD = 3 e AD = BD = 4 .
A distância em centímetros do ponto D ao plano ABC é
(A)
6
7
√
7 (B) 3 (C) 2
√
3 (D) 4 (E) 5
A) 6/7√7
B) 3
C) 2√3
D) 4
E) 5
7ª QUESTÃO Valor: 0,25
A soma dos inversos das soluções inteiras da equação∣∣∣∣∣∣∣
x 2 3
2 x 3
2 3 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0
é
(A) 0 (B) −19
30
(C) −15 (D) 15 (E)
1
A) 0
B) -19/30
C) -15
D) 15
E) 1
Um polígono regular possui 2n vértices (n ∈ N, n > 1). Escolhem-se ao acaso 4 vértices do polígono, formando o quadrilátero ABCD. A probabilidade de ABCD ser um retângulo é
(A) (n^2 - n)/(2n choose 4)
(B) n-1/(2n choose 4)
(C) (n+2)/(4 choose 2n)
(D) (2n^2)/6(2n choose 4)
(E) (n^2 + 2n + 4)/(12(2n choose 4))
Considere um ponto P cujas coordenadas (x,y), x,y ∈ R, satisfazem o sistema {4 cossec(α)x− 6 cotg(α)y = 4 sen(α) 12 cossec(α)y − 8 cotg(α)x = 0 onde α é um ângulo em radianos diferente de kπ (k ∈ Z). O lugar geométrico descrito pelos pontos P , conforme se varia o ângulo α, é um segmento de:
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