Determine o volume do sólido que fica abaixo da paraboloide z = 9 − x2 − y2 e acima do disco x2 + y2 = 4. A integração dupla é usada em problema...

Para determinar o volume do sólido que fica abaixo da paraboloide z = 9 − x² − y² e acima do disco x² + y² = 4, podemos utilizar a integração dupla. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração. O disco x² + y² = 4 é um círculo de raio 2, centrado na origem. Podemos escrever as equações paramétricas desse círculo como x = 2cos(t) e y = 2sen(t), onde t varia de 0 a 2π. Agora, para cada ponto (x,y) dentro do círculo, a altura da paraboloide é dada por z = 9 - x² - y². Portanto, o volume do sólido pode ser calculado pela integral dupla: V = ∬R (9 - x² - y²) dA onde R é a região do disco x² + y² ≤ 4. Podemos escrever essa integral em coordenadas polares, substituindo x = rcos(θ) e y = rsen(θ): V = ∫ de 0 a 2π ∫ de 0 a 2 (9 - r²) r dr dθ Resolvendo a integral, temos: V = ∫ de 0 a 2π [(9/2)r² - (1/4)r⁴] de 0 a 2 V = π(18 - 8/3) V = 50π/3 Portanto, o volume do sólido é 50π/3. A alternativa correta é a letra E).