Qual é o ângulo formado pelos planos α :5x-y+3z-12=0 e β :-x+y-2z+9=0? A 18,19° B 22,05° C 29,96° D 34,10°

Para encontrar o ângulo formado entre os planos \( \alpha \) e \( \beta \), precisamos usar a fórmula que envolve os vetores normais dos planos. Os planos são dados por: - \( \alpha: 5x - y + 3z - 12 = 0 \) (o vetor normal é \( \vec{n_1} = (5, -1, 3) \)) - \( \beta: -x + y - 2z + 9 = 0 \) (o vetor normal é \( \vec{n_2} = (-1, 1, -2) \)) O ângulo \( \theta \) entre os planos pode ser encontrado usando a seguinte fórmula: \[ \cos(\theta) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \] 1. Calcule o produto escalar \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} \): \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 5 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-2) = -5 - 1 - 6 = -12 \] 2. Calcule as magnitudes dos vetores normais: \[ |\vec{n_1}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35} \] \[ |\vec{n_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] 3. Agora, substitua na fórmula: \[ \cos(\theta) = \frac{|-12|}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{6}} = \frac{12}{\sqrt{210}} \] 4. Calcule \( \theta \): \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{12}{\sqrt{210}}\right) \] Ao calcular isso, você encontrará o ângulo. Após realizar os cálculos, o ângulo formado pelos planos \( \alpha \) e \( \beta \) é aproximadamente 34,10°. Portanto, a alternativa correta é: D) 34,10°.