Considere ???? ∈ ℝ e os trinômios ????(????) = −????2 + ???? − 3 e ????(????) = ????2 − 4. (a) Esboce o gráfico de ????(????) e analise o sinal de ????(????). (b) Esbo...

(a) Para esboçar o gráfico de f(x) = -x² + x - 3, podemos começar encontrando o vértice da parábola. O vértice é dado por x = -b/2a e y = f(x). Nesse caso, temos a = -1, b = 1 e c = -3. Então, x = -1/(-2) = 1/2 e y = f(1/2) = -7/4. Portanto, o vértice é (1/2, -7/4). Podemos também encontrar as raízes da equação, que são os pontos onde a parábola cruza o eixo x. Para isso, basta resolver a equação -x² + x - 3 = 0. Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos x = (1 ± √13)/2. Assim, temos três pontos importantes: o vértice (1/2, -7/4) e as raízes (1 + √13)/2 e (1 - √13)/2. Podemos agora esboçar o gráfico da função, que é uma parábola com concavidade para baixo e corta o eixo x em dois pontos. (b) Para esboçar o gráfico de g(x) = x² - 4, podemos começar encontrando as raízes da equação, que são os pontos onde a parábola cruza o eixo x. Para isso, basta resolver a equação x² - 4 = 0. Temos então x = 2 e x = -2. Esses são os pontos onde a parábola corta o eixo x. Podemos agora esboçar o gráfico da função, que é uma parábola com concavidade para cima e corta o eixo x em dois pontos. (c) Para analisar o sinal da expressão h(x) = f(x)/g(x), precisamos encontrar os pontos onde h(x) é igual a zero, positivo ou negativo. Se h(x) é igual a zero, isso significa que o numerador é zero, ou seja, f(x) = 0. Já sabemos que as raízes de f(x) são (1 + √13)/2 e (1 - √13)/2. Se h(x) é positivo, isso significa que o numerador e o denominador têm o mesmo sinal. Se h(x) é negativo, isso significa que o numerador e o denominador têm sinais opostos. Podemos agora construir uma tabela de sinais para h(x): x | f(x) | g(x) | h(x) --+------+------+----- -2 | 1 | 0 | ∞ -1 | 1 | 3 | >0 0 | -3 | -4 | >0 1 | -1 | 0 | - 2 | 1 | 0 | ∞ Assim, temos que h(x) é positivo para x ∈ (-∞, -1) ∪ (0, 1) e h(x) é negativo para x ∈ (-1, 0). (d) Para determinar o domínio da expressão k(x) = √(-x² + x - 3)/(x² - 4), precisamos garantir que o radicando seja não negativo e que o denominador seja diferente de zero. O radicando é não negativo se -x² + x - 3 ≤ 0, ou seja, se x ∈ [(-1 - √13)/2, (1 + √13)/2]. O denominador é diferente de zero se x ≠ ±2. Portanto, o domínio de k(x) é x ∈ [(-1 - √13)/2, (1 + √13)/2] - {-2, 2}. (e) Para determinar o domínio da expressão m(x) = √(x - 4) * g(x) / f(x), precisamos garantir que o radicando seja não negativo e que o denominador seja diferente de zero. O radicando é não negativo se x - 4 ≥ 0, ou seja, se x ≥ 4. O denominador é diferente de zero se f(x) ≠ 0, ou seja, se x ≠ (1 ± √13)/2. Portanto, o domínio de m(x) é x ∈ [4, ∞) - {(1 + √13)/2, (1 - √13)/2}.