Considere os trinômios do segundo grau ????(????) = ????2 − 2???? + 8 e ????(????) = −2????2 + 6???? + 8. (a) Use o método de completar quadrado para determinar o ...
(a) Use o método de completar quadrado para determinar o vértice ????(????????, ????????) da parábola que representa o gráfico do trinômio do segundo grau ????(????) = ????2 − 2???? + 8 e dê a concavidade da parábola. Justifique!
(b) Esboce a parábola que representa o gráfico do trinômio do segundo grau ????(????) e diga quantas raízes reais o trinômio possui. Encontre a interseção dessa parábola com o eixo ???? e marque esse ponto no gráfico. Identifique no gráfico: o vértice e outros dois que você escolheu.
(c) Se possível, determine as raízes reais do trinômio de segundo grau ????(????) = −2????2 + 6???? + 8. Determine o seu vértice ????(????????, ????????). Dê a concavidade da parábola. Justifique!
(d) Esboce, no mesmo par de eixos que você esboçou a parábola do item (b), a parábola que representa o gráfico do trinômio do segundo grau ????(????). Encontre a interseção dessa parábola com o eixo ???? e marque esse ponto no gráfico. Identifique no gráfico: o vértice e outros dois que você escolheu.
(e) Encontre os pontos de interseção das parábolas que você esboçou nos itens (b) e (d). Marque esses pontos nos gráficos.
(f) Para quais valores de ????, ????(????) > ????(????) e para quais valores de ????, ????(????) < ????(????). Dê a resposta na forma de intervalo e/ou de união de intervalos disjuntos (intervalos que não têm pontos em comum).
💡 1 Resposta
Ed 
(a) Para determinar o vértice da parábola que representa o gráfico do trinômio do segundo grau ????2 − 2???? + 8, usamos o método de completar quadrados. Primeiro, escrevemos o trinômio na forma de um quadrado perfeito, adicionando e subtraindo o termo que completa o quadrado. Temos: ????2 − 2???? + 8 = (???? − 1)2 + 7 Portanto, o vértice da parábola é (1, 7) e a concavidade é para cima, pois o coeficiente do termo quadrático é positivo. (b) A parábola que representa o gráfico do trinômio do segundo grau ????2 − 2???? + 8 tem uma raiz real, pois o discriminante é negativo. A interseção da parábola com o eixo ???? ocorre quando ???? − 1 = 0, ou seja, ???? = 1. O vértice é (1, 7) e outros dois pontos escolhidos podem ser (0, 8) e (2, 7). (c) Para determinar as raízes reais do trinômio de segundo grau −2????2 + 6???? + 8, usamos a fórmula de Bhaskara: ???? = [−6 ± √(62 − 4(−2)(8))] / (2(−2)) Simplificando, temos: ???? = [−3 ± i√7] ou ???? = 1 Portanto, a parábola não tem raízes reais. O vértice é (1, 10) e a concavidade é para baixo, pois o coeficiente do termo quadrático é negativo. (d) A parábola que representa o gráfico do trinômio do segundo grau −2????2 + 6???? + 8 tem duas raízes reais, pois o discriminante é positivo. A interseção da parábola com o eixo ???? ocorre quando ???? = (3 ± √7) / 2. O vértice é (1, 10) e outros dois pontos escolhidos podem ser (0, 8) e (3, 2). (e) Os pontos de interseção das parábolas são (0, 8) e (2, 7). (f) Para encontrar os valores de ???? tais que ????2 − 2???? + 8 > −2????2 + 6???? + 8, basta resolver a desigualdade: 3????2 − 6???? > 0 Dividindo ambos os lados por 3 e fatorando, temos: 3????(???? − 2) > 0 Portanto, a resposta é ???? < 0 ou ???? > 2. Para encontrar os valores de ???? tais que ????2 − 2???? + 8 < −2????2 + 6???? + 8, basta resolver a desigualdade: −3????2 + 2???? < 0 Dividindo ambos os lados por −1 e fatorando, temos: ????(3 − 2????) < 0 Portanto, a resposta é 0 < ???? < 3/2.
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