Considere as funções ????(????) = 3|????| − 9 e ????(????) = 4 − (???? − 5)2. (a) Esboce o gráfico de ????(????) = 3|????| − 9. Para justificar o gráfico, use tran...

(a) Para esboçar o gráfico de ???? = 3|????| − 9, podemos começar com o gráfico de ???? = |????| e aplicar as transformações necessárias. Primeiro, multiplicamos a função por 3, o que a torna mais íngreme. Em seguida, subtraímos 9 de toda a função, o que a desloca para baixo. Os pontos de interseção com o eixo ???? ocorrem quando 3|????| − 9 = 0, o que implica que |????| = 3. Portanto, os pontos de interseção são (3, 0) e (-3, 0). O gráfico resultante é uma "V" invertida, com vértice em (0, -9) e abertura para cima. (b) Para esboçar o gráfico de ???? = 4 − (???? − 5)2, podemos começar com o gráfico de ???? = (???? − 5)2 e aplicar as transformações necessárias. Primeiro, subtraímos 4 de toda a função, o que a desloca para baixo. O gráfico resultante é uma parábola com vértice em (5, 4) e abertura para baixo. Os pontos de interseção com o eixo ???? ocorrem quando 4 − (???? − 5)2 = 0, o que implica que (???? − 5)2 = 4. Portanto, os pontos de interseção são (3, 0) e (7, 0). (c) Para esboçar o gráfico de ℎ, podemos usar os gráficos de ???? e de ?????. Para ???? ≤ -7, temos ℎ(????) = 2???? + 8, o que significa que o gráfico de ℎ é uma reta com inclinação positiva. Para -7 ≤ ???? < -4, temos ℎ(????) = 3|????| − 9, o que significa que o gráfico de ℎ é uma "V" invertida, com vértice em (-5, -6) e abertura para cima. Para -4 ≤ ???? ≤ 4, temos ℎ(????) = 4 − (???? − 5)2, o que significa que o gráfico de ℎ é uma parábola com vértice em (5, 4) e abertura para baixo. Para ???? > 4, temos ℎ(????) = 4 − (???? − 5)2, o que significa que o gráfico de ℎ é uma reta horizontal no nível y = 4. O domínio de ℎ é dado por -7 ≤ ???? ≤ 4 e ???? > 4. (d) A imagem de ℎ é dada por todos os valores que a função pode assumir. Podemos ver que a imagem de ℎ é dada por ℎ(????) ≤ 8, já que 2???? + 8 ≤ 8 para ???? ≤ -7 e 4 − (???? − 5)2 ≤ 8 para ???? > 4. Para encontrar os intervalos do domínio de ℎ em que a função é decrescente, podemos observar o gráfico de ℎ e notar que a função é decrescente em (-7, -5) e (5, +∞).