Considere a Avaliação Presencial 3 de Pré-Cálculo do CEDERJ. Responda: (a) Considere o polinômio ????(????) = ????³ − ???????? − ????. Fatore ????(????), isto é, ...

(a) O polinômio ???? (????) = ????³ − ???????? − ???? pode ser fatorado como ???? (????) = (???? + 1)²(???? − 2). Para chegar a essa fatoração, podemos usar o Teorema de D'Alembert, que nos diz que se um número ???? é raiz de um polinômio, então (???? − ???? ) é um fator desse polinômio. Usando esse teorema, podemos verificar que ???? = −1 é uma raiz do polinômio, e, portanto, (???? + 1) é um fator. Dividindo o polinômio original por (???? + 1), obtemos um polinômio quadrático, que pode ser fatorado usando a fórmula de Bhaskara. Assim, encontramos que as outras raízes são ???? = 2 e ???? = −1, e, portanto, podemos escrever ???? (????) como o produto dos fatores (???? + 1)² e (???? − 2). (b) Para analisar o sinal do polinômio ???? (????), podemos usar a fatoração encontrada no item (a). Sabemos que (???? + 1)² é sempre não negativo, e que (???? − 2) é negativo para ???? < 2 e positivo para ???? > 2. Portanto, ???? (????) é positivo para ???? > 2 e negativo para −1 < ???? < 2. (c) A função ???? (????) é crescente no intervalo (−∞,−1] e no intervalo [6,+∞), e decrescente no intervalo [−1,2]. Sabemos que ???? (????) = 0 para ???? = −1 e ???? = 2, e que ???? (????) é positivo para ???? > 2 e para ???? < −1, e negativo para −1 < ???? < 2. Portanto, ???? (????) é positivo para ???? < −5 ou ???? > 2, e negativo para −2 < ???? < 0 ou 0 < ???? < 2. (d) O domínio da função ???? (????) é o conjunto de todos os valores de ???? para os quais o denominador é diferente de zero. Portanto, o domínio é ???? ∈ ℝ, exceto ???? = −1 e ???? = 2. Para encontrar os valores de ???? ∈ ????????????(????), para os quais ???? (????) > 0, podemos usar as análises de sinal feitas nos itens (b) e (c). Sabemos que ???? (????) é positivo para ???? > 2 e para ???? < −1, e que ???? (????) é positivo para ???? < −5 ou −1 < ???? < 0 ou ???? > 2. Portanto, os valores de ???? ∈ ????????????(????), para os quais ???? (????) > 0, são ???? < −5 ou −1 < ???? < 0 ou ???? > 2.